Gleichschenklige Dreiecksrechner

Was ist ein gleichschenkliges Dreieck?

Ein gleichschenkliges Dreieck ist eine geometrische Figur, die dadurch gekennzeichnet ist, dass sie zwei gleich lange Seiten hat, die als Schenkel bekannt sind. Die dritte Seite, die nicht gleich den anderen beiden ist, wird als Basis bezeichnet. Eine bemerkenswerte Eigenschaft gleichschenkliger Dreiecke ist, dass die Winkel gegenüber den gleich langen Seiten, bekannt als Basiswinkel, ebenfalls gleich sind. Der Winkel zwischen den beiden gleich langen Seiten wird als Scheitelwinkel bezeichnet. Aufgrund ihrer Symmetrie werden gleichschenklige Dreiecke in der Geometrie häufig verwendet und weisen zahlreiche interessante Eigenschaften und Theoreme auf.

Was kann dieser Rechner berechnen?

Mit diesem Rechner können Sie online die Seiten, Höhen, Winkel, Fläche und Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen, wenn bestimmte Parameter bekannt sind. Zur Berechnung weiterer Parameter eines gleichschenkligen Dreiecks können zusätzliche Rechner für die Seiten, die Basis, die Höhe und die Winkel verwendet werden.

Schlüsselbegriffe und Bezeichnungen

• Schenkel ($a$): Die zwei gleich langen Seiten des Dreiecks.
• Basis ($b$): Die Seite, die von den Schenkeln abweicht und dem Scheitel gegenüber liegt.
• Höhe vom Scheitel ($h_1$): Eine Senkrechte vom Scheitel zur Basis (wirkt auch als Median und Winkelhalbierende).
• Höhe zu den Schenkeln ($h_2$): Eine Senkrechte vom Basiswinkel zum gegenüberliegenden Schenkel.
• Scheitelwinkel ($\beta$): Der Winkel zwischen den beiden gleich langen Schenkeln.
• Basiswinkel ($\alpha$): Die Winkel an den Enden der Basis.
• Umfang ($P$): Die Summe der Längen aller Seiten des Dreiecks.
• Fläche ($S$): Der vom Dreieck umschlossene Raum.

Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks

1. Gleichheit der Schenkel: Die Schenkel (mit $a$ bezeichnet) sind gleich lang.
2. Gleichheit der Basiswinkel: Die Basiswinkel (mit $\alpha$ bezeichnet) sind gleich.
3. Träger von Median, Höhe und Winkelhalbierende: Von dem Scheitel aus gezien, fällt die Höhe, der Median und die Winkelhalbierende zusammen und bilden einen rechten Winkel zur Basis.
4. Gleichheit der Höhen zu den Schenkeln: Die Höhen von den Basiswinkeln zu den gegenüberliegenden Schenkeln sind gleich.
5. Gleichheit der Basiswinkelhalbierenden: Die Winkelhalbierenden der Basiswinkel sind gleich.

Formeln

Hier sind die grundlegenden Formeln zur Berechnung einiger Werte des gleichschenkligen Dreiecks.

1. Formel zur Berechnung der Seitseite $a$:

   $$a = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + h_1^2}$$

2. Formel zur Berechnung der Basis $b$:

   $$b = \sqrt{4a^2 - 4h_1^2}$$

3. Berechnung der Höhe von der Spitze (Median und Winkelhalbierende) $h_1$:

   $$h_1 = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

4. Formel zur Berechnung der Höhe zur Seitseite $h_2$:

   $$h_2 = a \cdot \sin\left(\beta\right)$$

5. Berechnung des Scheitelwinkels $\beta$:

   $$\beta = 180^\circ - 2 \cdot \arccos\left(\frac{b}{2a}\right)$$

6. Berechnung der Basiswinkel $\alpha$:

   $$\alpha = \frac{180^\circ - \beta}{2}$$

7. Berechnung der Fläche $S$ anhand von Formeln:

   Wissen über die Schenkel und Basis:

   $$S = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$$

   Wissen über die Basis und Höhe:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$$

   Wissen über den Schenkel und Scheitelwinkel:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$$

8. Umfang ($P$):

   $$P = 2a + b$$

   Wenn die Basis $b$ und Höhe $h_1$ bekannt sind, ersetzen Sie $a$ in der Umfangsformel:

   $$a = \sqrt{h_1^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

   Wenn der Schenkel $a$ und der Scheitelwinkel $\beta$ bekannt sind, ersetzen Sie $b$ mit:

   $$b = 2a \cdot \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$$

Beispiele

Beispiel zur Berechnung der Seitseite

Angenommen, wir haben ein Dreieck mit einer Basis von $b = 8$ und einer Höhe von der Spitze $h_1 = 6$. Wir finden die Seitseite $a$:

Beispiel zur Berechnung der Basis

Wenn die Seitseite $a = 5$ und die Höhe von der Spitze $h_1 = 4$ ist, berechnen wir die Basis $b$:

Berechnung des Scheitelwinkels

Wenn die Seitseite $a = 10$ und die Basis $b = 16$ ist, berechnen wir den Scheitelwinkel $\beta$:

Berechnung der Fläche

Beispiel 1: Berechnen Sie die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer Schenkellänge von $a = 5$ cm und einer Basislänge von $b = 6$ cm.

Verwendung der Formel:

Einsetzen der bekannten Werte:

Beispiel 2: Berechnen Sie die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer Basis von $b = 8$ cm und einer Höhe von $h_1 = 5$ cm.

Verwendung der Formel:

Einsetzen der bekannten Werte:

Beispiel 3: Berechnen Sie die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks mit einem Schenkel von $a = 7$ cm und einem Scheitelwinkel von $\beta = 45^\circ$.

Verwendung der Formel:

Einsetzen der bekannten Werte:

Beispiel der Umfangsberechnung

Beispiel 1: Wenn die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks 8 cm beträgt und seine Höhe 6 cm, finden Sie den Umfang.

1. Berechnen Sie den Schenkel:

   $$a = \sqrt{6^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \approx 7,21 \text{ cm}$$

2. Umfang ($P$):

   $$P = 2 \times 7,21 + 8 = 22,42 \text{ cm}$$

Beispiel 2: Wenn der Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks 10 cm und der Scheitelwinkel 60º ist, finden Sie den Umfang.

1. Berechnen Sie die Basis:

   $$b = 2 \times 10 \cdot \sin\left(30º\right) = 20 \times 0.5 = 10 \text{ cm}$$

2. Umfang ($P$):

   $$P = 2 \times 10 + 10 = 30 \text{ cm}$$

Anmerkungen

• Ein gleichschenkliges Dreieck kann ein gleichseitiges Dreieck sein, wenn alle Seiten gleich sind.
• Die Höhe fungiert auch als Median und Winkelhalbierende aufgrund ihrer Symmetrie.
• Trigonometrische Funktionen werden häufig zur Berechnung von Winkeln und Höhen verwendet.

Häufig gestellte Fragen

Wie wird die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks berechnet?

Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks kann auf verschiedene Weise berechnet werden:

• Angabe der Basis und der Höhe: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$
• Angabe des Schenkels und des Scheitelwinkels: $S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$
• Angabe der Basis und eines Schenkels: $S = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$

Sind alle Höhen in einem gleichschenkligen Dreieck gleich?

Nein, die Höhe vom Scheitel ist gleich dem Median und der Winkelhalbierenden zur Basis, während die Höhen von den Basiswinkeln zu den gegenüberliegenden Schenkeln gleich sind.

Wie findet man den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn der Schenkel 7 cm und die Basis 10,5 cm beträgt?

Verwenden Sie die Formel: $P = 2a + b$.

In diesem Fall ist $a = 7$, $b = 10,5$; daher ergibt sich $P = 2 \times 7 + 10,5 = 24,5 \text{ cm}$.

Welche Daten sind notwendig, um den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen?

Um den Umfang zu berechnen, ist die Länge der Basis und eines Schenkels ausreichend. Die Höhe oder Winkel können auch in Kombination mit Berechnungen verwendet werden.

Kann die Heronsche Formel zur Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks verwendet werden?

Die Heronsche Formel kann sicherlich verwendet werden, um die Fläche zu bestimmen, wenn alle Seiten des Dreiecks bekannt sind. Sie ist sowohl für gleichschenklige Dreiecke als auch für alle anderen Dreiecke anwendbar.