Gleichschenkliges Dreieck Basisrechner

Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks

Ein gleichschenkliges Dreieck ist eine spezielle Art von Dreieck mit zwei gleich langen Seiten. Diese gleichen Seiten werden Schenkel genannt, während die dritte Seite Basis genannt wird. Die Einzigartigkeit eines gleichschenkligen Dreiecks liegt in seiner Symmetrie. Der Winkel gegenüber der Basis wird Scheitelwinkel genannt, und die beiden Winkel, die an die Basis angrenzen, werden Basiswinkel genannt.

Das gleichschenklige Dreieck hat diese grundlegenden Eigenschaften:

1. Gleiche Basiswinkel: Die Winkel, die an die Basis angrenzen, sind gleich.
2. Höhe: Die von der Spitze zur Basis gezogene Höhe ist gleichzeitig die Medianlinie und der Winkelhalbierende.

Unser Rechner hilft, die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks durch verschiedene bekannte Parameter zu bestimmen, wie sie häufig in Geometrieproblemen vorkommen. Wenn du die Schenkellänge berechnen musst, benutze unseren gleichschenkligen Dreieck Schenkelrechner.

Zwei verwandte Abschnitte

Höhe und Median in einem gleichschenkligen Dreieck

Die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck ist die senkrechte Linie, die von der Spitze zur Basis gezogen wird. In einem gleichschenkligen Dreieck erfüllt diese Linie drei Funktionen: Sie ist gleichzeitig die Höhe, die Medianlinie und die Winkelhalbierende des Scheitelwinkels. Die Medianlinie verbindet die Spitze mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite, während die Winkelhalbierende den Scheitelwinkel in zwei gleiche Teile teilt.

Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck

Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind immer gleich. Wenn wir den Scheitelwinkel als $\beta$ und den Basiswinkel als $\alpha$ bezeichnen, dann gilt:

$$\beta = 180^\circ - 2\alpha$$

Daher können wir, wenn wir einen Winkel kennen, die anderen leicht finden.

Formeln

Unser Rechner bietet verschiedene Optionen basierend auf verfügbaren Eingabedaten. Lassen Sie uns die Formeln für die Berechnung der Basis $b$ je nach bekannten Parametern untersuchen.

Bekannte Höhe und Schenkel

Mit bekannter Höhe $h_1$ von der Spitze und Schenkellänge $a$ wird die Basis berechnet als:

$$b = 2 \sqrt{a^2 - h_1^2}$$

Bekannter Schenkel und Basiswinkel

Mit bekannter Schenkellänge $a$ und Basiswinkel $\alpha$ verwenden Sie die trigonometrische Formel:

$$b = 2a \cdot \cos(\alpha)$$

Bekannte Höhe und Basiswinkel

Mit gegebener Höhe $h_1$ und Basiswinkel $\alpha$ finden Sie die Basis mit:

$$b = 2 h_1 \cdot \ctg(\alpha)$$

Bekannte Fläche und Höhe

Mit gegebener Fläche $S$ und Höhe $h_1$ wird die Basis bestimmt durch:

$$b = \frac{2S}{h_1}$$

Bekannter Umfang und Schenkel

Mit bekanntem Umfang $P$ und Schenkellänge $a$:

$$b = P - 2a$$

Beispiele

Beispiel 1: Basis aus Höhe und Schenkel

Gegebene Höhe $h_1 = 5$ Zoll und Schenkel $a = 13$ Zoll. Die Basis $b$ ist:

$$b = 2 \sqrt{13^2 - 5^2} = 2 \sqrt{169 - 25} = 2 \sqrt{144} = 2 \times 12 = 24 \text{ Zoll}$$

Beispiel 2: Basis aus Schenkel und Basiswinkel

Gegebener Schenkel $a = 10$ Zoll und Basiswinkel $\alpha = 30^\circ$:

$$b = 2 \times 10 \times \cos(30^\circ) = 17.32 \text{ Zoll}$$

Beispiel 3: Basis aus Höhe und Basiswinkel

Gegebene Höhe $h_1 = 8$ Zoll und Basiswinkel $\alpha = 48^\circ$:

$$b = 2 h_1 \cdot \ctg(\alpha) = 2 \times 8 \times \ctg(48^\circ)$$

Da $\ctg(48^\circ) = 0.9$:

$$b = 2 \times 8 \times 0.9 = 14.4 \text{ Zoll}$$

Beispiel 4: Basis aus Fläche und Höhe

Gegebene Fläche $S = 36$ Quadrat-Zoll und Höhe $h_1 = 6$ Zoll:

$$b = \frac{2S}{h_1} = \frac{2 \times 36}{6} = 12 \text{ Zoll}$$

Beispiel 5: Basis aus Umfang und Schenkel

Gegebener Umfang $P = 28$ Zoll und Schenkel $a = 10$ Zoll:

$$b = P - 2a = 28 - 2 \times 10 = 8 \text{ Zoll}$$

Anmerkungen

• Die Genauigkeit der Berechnung hängt von der Präzision der Eingabedaten ab.
• Stellen Sie sicher, dass alle Maße vor der Berechnung konsistente Einheiten verwenden.
• Wenn Sie trigonometrische Funktionen verwenden, prüfen Sie, ob die Winkel in Grad oder Radiant angegeben sind.

Häufig gestellte Fragen

Wie finde ich die Basis, wenn die Höhe 4 Zoll und der Schenkel 5 Zoll beträgt?

Verwenden Sie die Formel mit der Höhe $h_1 = 4$ Zoll und dem Schenkel $a = 5$ Zoll:

$$b = 2 \sqrt{5^2 - 4^2} = 2 \sqrt{25 - 16} = 2 \sqrt{9} = 6 \text{ Zoll}$$

Kann die Basis aus Umfang und Seitenschenkel bestimmt werden?

Ja, wenn Sie den Umfang $P$ und die Schenkellänge $a$ kennen, verwenden Sie:

$$b = P - 2a$$

Wie beeinflusst der Basiswinkel die Basislänge?

Wenn der Basiswinkel zunimmt, nimmt die Basislänge bei fester Schenkellänge ab, gemäß der Beziehung:

$$b = 2a \cdot \cos(\alpha)$$

Warum sind die Basiswinkel gleich?

Die Basiswinkel sind gleich, da sie an die gleichen Schenkel angrenzen. Dies ist eine grundlegende Eigenschaft von gleichschenkligen Dreiecken, die durch Symmetrie überprüft wird.

Welche anderen nützlichen Eigenschaften hat ein gleichschenkliges Dreieck?

Die Höhe von der Spitze teilt das Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke, und die Medianlinie, Winkelhalbierende und Höhe von der Spitze fallen zusammen.