Höhenrechner für gleichschenklige Dreiecke

Was ist die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks

Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks ist eine senkrechte Linie, die vom Scheitelpunkt (dem Punkt, an dem sich die beiden gleich langen Seiten treffen) zur Basis oder ihrer Verlängerung gezogen wird. In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang (bekannt als die Schenkel), während die dritte Seite die Basis ist. Die Höhe vom Scheitelpunkt zur Basis halbiert die Basis, wodurch zwei gleiche Segmente entstehen, und wirkt als Winkelhalbierende am Scheitelpunkt. Sie können unseren Gleichschenkliges Dreieck Rechner nutzen, um dessen Fläche und Umfang zu berechnen.

Merkmale der Höhen in einem gleichschenkligen Dreieck

In einem gleichschenkligen Dreieck weist die vom Scheitelpunkt zur Basis gezogene Höhe mehrere bemerkenswerte Merkmale auf:

• Sie teilt die Basis in zwei gleiche Teile.
• Sie wirkt als Median des Dreiecks.
• Sie ist die Winkelhalbierende am Scheitelpunkt.
• Sie steht senkrecht zur Basis.

Die Höhe von einem Basiswinkel zu einem Schenkel hat ihre eigenen Merkmale:

• Sie ist gleich der Höhe vom gegenüberliegenden Basiswinkel.
• Sie bildet einen rechten Winkel mit dem Schenkel.
• Sie teilt den Schenkel in ungleiche Segmente.

Formeln zur Berechnung der Höhen

Höhe vom Scheitelpunkt (h₁)

1. Mit dem Schenkel und der Basis: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$

2. Mit der Fläche und der Basis: $h_1 = \frac{2S}{b}$

3. Mit dem Basiswinkel und dem Schenkel: $h_1 = a \sin{\alpha}$

Höhe vom Basiswinkel (h₂)

1. Mit dem Scheitelwinkel und dem Schenkel: $h_2 = a \sin{\beta}$

2. Mit dem Schenkel und der Basis. Zuerst verwenden wir die Formel für die Höhe vom Scheitelpunkt: $h_2 = a \sin{\beta}$ wobei die Berechnung für den Winkel $\beta$ durchgeführt wird als: $\beta = 180° - 2\alpha$, mit $\alpha=\arccos{\left(\frac{b}{2a}\right)}$

3. Mit der Fläche und dem Schenkel: $h_2 = \frac{2S}{a}$

Beispielberechnungen

Beispiel 1

Gegeben: Schenkel $a = 10$ cm, Basis $b = 12$ cm. Gesucht: Höhe vom Scheitelpunkt $h_1$

Lösung: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{100 - \frac{144}{4}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm

Beispiel 2

Gegeben: Fläche $S = 60 \text{ cm}^2$, Basis $b = 10 \text{ cm}$ Gesucht: Höhe vom Scheitelpunkt $h_1$

Lösung: $h_1 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 60}{10} = 12$ cm

Beispiel 3

Gegeben: Scheitelwinkel $\beta = 36°$, Schenkel $a = 15 \text{ cm}$ Gesucht: Höhe vom Scheitelpunkt $h_2$

Lösung: $h_2 = a \sin{\beta} = 15 \sin{36°} = 15 \times 0.5878 \approx 8.817 \text{ cm}$

Beispiel 4

Gegeben: Fläche $S = 40 \text{ cm}^2$, Schenkel $a = 13 \text{ cm}$ Gesucht: Höhe vom Basiswinkel $h_2$

Lösung: $h_2 = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 40}{13} \approx 6.15 \text{ cm}$

Wichtige Hinweise

1. Denken Sie daran, dass in einem gleichschenkligen Dreieck:

   • Die Schenkel sind gleich lang.
   • Die Basiswinkel sind gleich.
   • Die Summe aller Winkel beträgt 180°.

2. Berücksichtigen Sie die Beziehungen der Elemente des Dreiecks:

   • Wenn $\alpha$ ein Basiswinkel ist, dann $\beta = 180° - 2\alpha$
   • Wenn $\beta$ der Scheitelwinkel ist, dann $\alpha = \frac{180° - \beta}{2}$

3. Die Höhe kann entweder innerhalb oder außerhalb des Dreiecks gezeichnet werden, abhängig von den Winkeln:

   • Wenn der Scheitelwinkel spitz ist, liegt die Höhe innerhalb des Dreiecks.
   • Wenn der Scheitelwinkel stumpf ist, liegt die Höhe außerhalb des Dreiecks.
   • Wenn der Scheitelwinkel ein rechter Winkel ist, fällt die Höhe mit dem Schenkel zusammen.

Häufig gestellte Fragen

Wie findet man die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn der Schenkel $a = 17 \text{ cm}$ und der Basiswinkel $\alpha = 42°$ ist?

$h_1 = a \sin{\alpha} = 17 \sin{42°} = 17 \times 0.669 \approx 11.37 \text{ cm}$

Was ist der Unterschied zwischen der Höhe vom Scheitelpunkt und der Höhe vom Basiswinkel?

Die Höhe vom Scheitelpunkt wird zur Basis gemessen und halbiert den Scheitelwinkel, während die Höhe von einem Basiswinkel zu einem Schenkel gemessen wird und keine besonderen Eigenschaften hat, außer dass sie rechtwinklig zur Seite steht.

Kann die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks größer sein als sein Schenkel?

Nein, die Höhe ist immer kleiner als der Schenkel, da sie als ein Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks fungiert, bei dem der Schenkel die Hypotenuse ist.

Wie verändert sich die Höhe des Dreiecks, wenn die Basis verlängert wird, während die Schenkel gleich bleiben?

Das Verlängern der Basis verringert die Höhe vom Scheitelpunkt, während die Höhe von einem Basiswinkel zunächst zunimmt und dann abnimmt.

Wie findet man die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn die Fläche $S = 48 \text{ cm}^2$ und die Basis $b = 16 \text{ cm}$ ist?

$h_1 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 48}{16} = 6 \text{ cm}$

Was ist die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn seine Schenkel gleich der Basis sind?

In einem solchen Fall ist das Dreieck gleichseitig, und die Höhe wird berechnet als: $h_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ wobei $a$ die Seitenlänge des Dreiecks ist.