Polyeder-Volumenrechner

Was ist ein Polyeder-Volumenrechner?

Der Polyeder-Volumenrechner ermöglicht die Berechnung des Volumens einer Figur basierend auf zwei unterschiedlichen Kriterien:

1. Das Volumen eines Polyeders, dessen Ecken Punkte eines rechtwinkligen Quaders sind;
2. Eine zusammengesetzte Figur, die aus zwei verbundenen Quadern besteht; dabei wird das Gesamtvolumen der durch die zwei Quader gebildeten 3D-Form berechnet.

Formeln

Formel für ein in einen Quader eingeschriebenes Polyeder

Bestimmen Sie zunächst die Art des in den Quader eingeschriebenen Polyeders:

1. Wenn das Polyeder eine Pyramide ist (z.B. mit einer Basis auf einer Fläche des Quaders und einem Eckpunkt an der gegenüberliegenden Ecke), wird das Volumen berechnet als:

wobei $S$ die Basisfläche und $h$ die Höhe (Abstand vom Scheitelpunkt zur Basis) ist.

2. Wenn das Polyeder ein Prisma ist (z.B. zwischen zwei parallelen Flächen), ist das Volumen:

wobei $S$ die Basisfläche und $h$ die Prismenhöhe ist.

Formel für ein zusammengesetztes Polyeder

Das Gesamtvolumen $V$ eines zusammengesetzten Polyeders wird berechnet als:

Wobei:

• $L_1$ und $L_2$: Längen (lange Seiten) der beiden Quader.
• $W_1$ und $W_2$: Breiten (kurze Seiten) der beiden Quader.
• $H$: gemeinsame Höhe.

Schritt-für-Schritt-Beispiele

Beispiel 1: Volumen eines Polyeders anhand der Ecken eines Quaders

Finden Sie das Volumen eines Polyeders, dessen Ecken die Punkte $A, D, A_1, B, C, B_1$ eines rechteckigen Quaders $ABCDA_1B_1C_1D_1$ sind, bei dem $AB = 3$, $AD = 4$, $AA_1 = 5$, wobei $ABCD$ die untere Basis des Quaders und $A_1B_1C_1D_1$ die obere Basis des Quaders über den entsprechenden Punkten der unteren Basis ist.

1. Bestimmen wir, dass die in den Quader eingeschriebene Figur ein dreieckiges Prisma ist.

2. Berechnen Sie die Grundfläche des Prismas:

$S = \frac{1}{2} \times AA_1 \times AD = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$

3. Finden Sie das Volumen des Prismas:

$V = S \times h = 10 \times 3 = 30$ In diesem Beispiel entspricht die Höhe des Prismas der Länge der Seite $AB$.

Hinweis: Im betrachteten Beispiel nimmt das Prisma genau 1/2 des Volumens des Quaders ein, und das Ergebnis kann überprüft werden, indem das Volumen des Quaders berechnet wird: $V = 3\times4\times5 = 60$, dessen Hälfte 30 beträgt.

Beispiel 2: Volumen eines L-förmigen Tisches

Ein Tisch hat die Parameter:

• Hauptteil: $L_1 = 1,8\ \text{m}$, $W_1 = 0,7\ \text{m}$
• Verlängerung: $L_2 = 1,2\ \text{m}$, $W_2 = 0,6\ \text{m}$
• Höhe $H = 0,75\ \text{m}$

Berechnung:

Historischer Hintergrund

Das Studium der Polyeder begann im antiken Griechenland, wo Euklid und Archimedes ihre Eigenschaften erforschten. Der Begriff “Polyeder” leitet sich von den griechischen Wörtern poly (viele) und hedra (Fläche) ab. Zusammengesetzte Polyeder, wie verbundene Prismen, gewannen während der Renaissance an Bedeutung, um komplexe architektonische Elemente wie gewölbte Decken und Strebebögen zu analysieren.

Anwendungen

1. Architektur: Berechnung von Materialien für mehrstöckige Strukturen.
2. Logistik: Gestaltung von Containern mit mehreren Fächern.
3. Produktion: Schätzung des Raumbedarfs für Geräte mit komplexen Formen.

Anmerkungen

• Alle Maße müssen im selben Einheitensystem (Meter, Fuß usw.) angegeben werden.
• Die Formel für zusammengesetzte Figuren setzt eine gemeinsame Höhe voraus. Wenn die Höhen unterschiedlich sind, berechnen Sie die Volumen separat und addieren sie:

• Dieser Rechner funktioniert nur für rechtwinklige Quader. Für komplexe Formen verwenden Sie unseren Volumenrechner.
• Für in Quadern eingeschriebene Polyeder unterstützt der Rechner Figuren mit 4–6 bestimmten Eckpunkten, wenn die Maße des Quaders bekannt sind.

FAQs

Wie berechnet man das Volumen, wenn die Prismenhöhen unterschiedlich sind?

Für unterschiedliche Höhen $H_1$ und $H_2$ berechnen Sie die Volumen separat und addieren sie:

Beispiel: $L_1 = 4\ \text{m}$, $W_1 = 2\ \text{m}$, $H_1 = 3\ \text{m}$; $L_2 = 3\ \text{m}$, $W_2 = 1\ \text{m}$, $H_2 = 2\ \text{m}$:

Finden Sie das Volumen eines Polyeders, dessen Ecken die Punkte $A, B, C, B_1$ eines rechteckigen Quaders $ABCDA_1B_1C_1D_1$ sind, bei dem $AB = 3$, $AD = 3$, $AA_1 = 4$.

In diesem Fall gehen wir davon aus, dass $ABCD$ die untere Basis des Quaders ist, $A_1B_1C_1D_1$ die obere Basis des Quaders über den entsprechenden Punkten der unteren Basis.

Lösungsschritte:

1. Bestimmen wir, dass die in den Quader eingeschriebene Figur eine dreieckige Pyramide ist, deren Werte bekannt sind: AB = 3, BC = 3 (als Seite, die parallel zu AD ist) und die Höhe BB1 = 4 (als Seite parallel zu AA1).

2. Berechnen Sie die Grundfläche der Pyramide:

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4,5$

3. Finden Sie das Volumen der Pyramide:

$V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times 4,5 \times 4 = 6$

Das Volumen des Polyeders mit den Ecken $A, B, C, B_1$ beträgt 6.

Wie benutzt man den Rechner?

1. Wählen Sie den Polyedertyp: “Polyeder in einem Quader eingeschrieben” oder “Zusammengesetztes Polyeder”.
2. Wählen Sie die Anzahl der Eckpunkte.
3. Geben Sie die Länge, Breite und Höhe des Quaders ein.
4. Der Rechner berechnet automatisch das Volumen.

Wurden zusammengesetzte Polyeder in der antiken Architektur verwendet?

Ja. Beispielsweise kombinierte das Fundament des Kolosseums in Rom trapezförmige und rechteckige Blöcke, um die Last auf unebenem Gelände zu verteilen.