Volumenrechner für regelmäßige Prismen

Was ist ein regelmäßiges Prisma?

Ein regelmäßiges Prisma ist eine dreidimensionale geometrische Figur mit zwei kongruenten polygonalen Basen, die durch rechteckige Flächen verbunden sind. Der Begriff “regelmäßig” bedeutet, dass die polygonale Basis ein regelmäßiges Polygon ist, was bedeutet, dass alle Seiten und Innenwinkel gleich sind. Zu den gängigen Beispielen gehören dreieckige Prismen (Basis: Dreieck), fünfeckige Prismen (Basis: Fünfeck) und sechseckige Prismen (Basis: Sechseck). Das Volumen eines Prismas hängt von der Fläche seiner Basis und seiner Höhe (dem senkrechten Abstand zwischen den beiden Basen) ab.

Formel zur Berechnung des Volumens eines regelmäßigen Prismas

Das Volumen $V$ eines regelmäßigen Prismas wird mit der folgenden Formel berechnet:

Wo:

• $S$ = Fläche des Basis-Polygons
• $l$ = Höhe (oder Länge) des Prismas (Abstand zwischen den Basen)

Für ein regelmäßiges Polygon mit $n$ Seiten, von denen jede $s$ lang ist, wird die Fläche $S$ gegeben durch:

Hier ist $a$ der Apothem (der Abstand vom Zentrum des Polygons zur Mitte einer seiner Seiten). Der Apothem kann berechnet werden, wenn die Seitenlänge $s$ bekannt ist:

Wenn man dies in die Flächenformel einsetzt:

Daraus ergibt sich die endgültige Volumenformel:

Beispiele für Volumenberechnungen

Beispiel 1: Fünfeckiges Prisma

Problem: Ein regelmäßiges fünfeckiges Prisma hat eine Seitenlänge $s = 6 \, \text{cm}$ und eine Höhe $l = 15 \, \text{cm}$. Berechnen Sie sein Volumen.
Lösung:

1. Berechnen Sie den Apothem $a$: $$a = \frac{6}{2 \times \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)} \approx \frac{6}{2 \times 0.7265} \approx 4,13 \, \text{cm}$$
2. Berechnen Sie die Basisfläche $S$: $$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times 4,13 \approx 61,95 \, \text{cm}^2$$
3. Berechnen Sie das Volumen $V$: $$V = 61,95 \times 15 \approx 929,3 \, \text{cm}^3$$

Beispiel 2: Sechseckiges Prisma

Problem: Ein regelmäßiges sechseckiges Prisma hat eine Seitenlänge $s = 10 \, \text{cm}$, Apothem $a = 8,66 \, \text{cm}$ und eine Höhe $l = 20 \, \text{cm}$. Finden Sie sein Volumen heraus.
Lösung:

1. Berechnen Sie die Basisfläche $S$: $$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times 8,66 = 259,8 \, \text{cm}^2$$
2. Berechnen Sie das Volumen $V$: $$V = 259,8 \times 20 = 5\,196 \, \text{cm}^3$$

Beispiel 3: Dreieckiges Prisma

Problem: Ein regelmäßiges dreieckiges Prisma hat eine Seitenlänge $s = 4 \, \text{m}$ und eine Höhe $l = 10 \, \text{m}$. Bestimmen Sie sein Volumen.
Lösung:

1. Berechnen Sie den Apothem $a$: $$a = \frac{4}{2 \times \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)} \approx \frac{4}{2 \times 1,732} \approx 1,1547 \, \text{m}$$
2. Berechnen Sie die Basisfläche $S$: $$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times 1,1547 \approx 6,9282 \, \text{m}^2$$
3. Berechnen Sie das Volumen $V$: $$V = 6,9282 \times 10 \approx 69,3 \, \text{m}^3$$

Historischer Kontext

Die Untersuchung von Prismen reicht bis ins antike Griechenland zurück, wo Mathematiker wie Euklid ihre Eigenschaften in den Elementen erforschten. Regelmäßige Prismen wurden auch in der Architektur verwendet; zum Beispiel wurden sechseckige Säulen in römischen und gotischen Strukturen wegen ihrer strukturellen Effizienz eingesetzt. Der Begriff „Prisma“ selbst stammt aus dem Griechischen prisma, was „etwas Gesägtes“ bedeutet.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechnet man das Volumen eines Prismas, wenn der Apothem unbekannt ist?

Verwenden Sie die Formel mit der Seitenlänge $s$:

Für ein sechseckiges Prisma ($n = 6$) mit $s = 5 \, \text{cm}$ und $l = 12 \, \text{cm}$:

Wie beeinflusst die Anzahl der Seiten $n$ das Volumen?

Wenn $n$ zunimmt, nähert sich das Basispolygon einem Kreis an und das Prisma einem Zylinder. Ein Prism mit 100 Seiten hätte ein Volumen, das sich dem von $\pi r^2 l$ annähert, wobei $r$ der Radius des umschriebenen Kreises ist. Für die Berechnung des Volumens eines Zylinders verwenden Sie unseren Zylindervolumenrechner.

Was ist das Volumen eines achteckigen Prismas mit einer Seitenlänge von 5 cm und einer Höhe von 12 cm?

Bei $n = 8$:

Wie kann man Volumen von Kubikmetern in Liter umwandeln?

1 Kubikmeter ($\text{m}^3$) = 1,000 Liter. Zum Beispiel, $2,5 \, \text{m}^3 = 2\,500 \, \text{L}$. Für die Umrechnung verschiedener Volumeneinheiten verwenden Sie unseren Volumenkonverter.