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Was ist Dreieckshöhe?

Die Dreieckshöhe, manchmal auch als Höhe bezeichnet, ist ein Liniensegment, das senkrecht zur Basis eines Dreiecks steht und sich bis zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt erstreckt. Die Höhe spielt eine entscheidende Rolle beim Lösen geometrischer Probleme und Berechnungen im Zusammenhang mit Dreiecken, da sie hilft, die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen. Abhängig von der Art des Dreiecks, den bekannten Variablen und der erforderlichen Berechnung variiert die Methode zur Bestimmung der Höhe.

Berechnung der Höhe in verschiedenen Dreieckstypen

Um zu verstehen, wie die Höhe in verschiedenen Dreiecken berechnet wird, muss man wissen, welche Werte gegeben sind und um welchen Dreieckstyp es sich handelt. Lassen Sie uns erkunden, wie die Höhe für gewöhnliche, rechtwinklige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke mit bestimmten Formeln und Methoden bestimmt wird.

Gewöhnliches Dreieck

In einem gewöhnlichen Dreieck mit den Seiten aa, bb und cc:

  1. Verwendung von Fläche und Basis:

    • Wenn die Fläche SS und die Basis bb bekannt sind, kann die Höhe hh berechnet werden als: h=2Sbh = \frac{2S}{b}
  2. Verwendung der Seiten:

    • Die Höhe hh, die zur Seite bb in einem Dreieck mit den bekannten Seiten aa, bb und cc abgesteckt ist, kann durch eine einzige Formel ausgedrückt werden: h=2bp(pa)(pb)(pc)h = \frac{2}{b} \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} wobei pp der Halbperimeter des Dreiecks ist: p=a+b+c2p = \frac{a + b + c}{2}

Rechtwinkliges Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten aa und bb und der Hypotenuse cc kann die von der Ecke des rechten Winkels zur Hypotenuse herabgelassene Höhe mit der Formel berechnet werden:

h=abch = \frac{a \cdot b}{c}

Gleichschenkliges Dreieck

In einem gleichschenkligen Dreieck mit zwei gleich langen Seiten aa, der Basis bb und dem Scheitelwinkel β\beta kann die Höhe berechnet werden mit:

h=a2(b2)2h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}

Gleichseitiges Dreieck

Für ein gleichseitiges Dreieck, bei dem jede Seite aa ist, kann die Höhe berechnet werden als:

h=a32h = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Beispiele

Beispiel 1: Höhe in einem gewöhnlichen Dreieck

Betrachten Sie ein Dreieck mit einer bekannten Fläche von 36 Quadrat-Einheiten und einer Basis von 12 Einheiten. Um die Höhe zu finden:

h=23612=6 Einheitenh = \frac{2 \cdot 36}{12} = 6 \text{ Einheiten}

Beispiel 2: Höhe in einem gleichseitigen Dreieck

Für ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 8 Einheiten:

h=8326,93 Einheitenh = \frac{8 \cdot \sqrt{3}}{2} \approx 6,93 \text{ Einheiten}

Beispiel 3: Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck mit einer Hypotenuse von 13 Einheiten und Katheten von 5 und 12 Einheiten:

h=51213=60134,62 Einheitenh = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \approx 4,62 \text{ Einheiten}

Anmerkungen

  • Stellen Sie sicher, dass Winkel in der richtigen Maßeinheit, z.B. Grad oder Radiant, vorliegen, wenn trigonometrische Berechnungen durchgeführt werden.
  • Die Grundlage der Messung ist entscheidend; stellen Sie sicher, dass sie senkrecht ist, wenn Sie Höhe und Basis betrachten.
  • Die Vertrautheit mit primären trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens) ist unerlässlich, um Formeln genau anzuwenden.

Häufig gestellte Fragen

Wie finde ich die Höhe eines Dreiecks, wenn die Fläche 50 und die Basis 10 ist?

Die Formel lautet h=2×Abh = \frac{2 \times \text{A}}{\text{b}}. Unter Verwendung der Werte:

h=2×5010=10 Einheitenh = \frac{2 \times 50}{10} = 10 \text{ Einheiten}

Wie hoch ist ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seite von 7 Einheiten?

Verwenden Sie die Formel h=a32h = \frac{a \sqrt{3}}{2}:

h=7326,06 Einheitenh = \frac{7 \sqrt{3}}{2} \approx 6,06 \text{ Einheiten}

Was ist, wenn das gleichschenklige Dreieck Seiten von 5 Einheiten und eine Basis von 6 Einheiten hat?

Verwenden Sie h=a2(b2)2h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}:

h=52(62)2=259=16=4 Einheitenh = \sqrt{5^2 - \left(\frac{6}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ Einheiten}

Wenn Sie die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks finden müssen, das von der Scheitelwinkel zur Basis fällt, verwenden Sie den Gleichschenkliges Dreieck Höhenrechner

Wie ändert sich die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks mit unterschiedlichen Winkeln?

Die Höhe hängt vom Sinus des Winkels ab, wenn sie relativ zur Hypotenuse berechnet wird. Wenn der Winkel steigt oder fällt, ändert sich der Sinuswert und verändert die Höhe.

Ist die Höhe in Dreiecken immer senkrecht zur Basis?

Ja, per Definition muss die Höhe (Höhe) in einem Dreieck senkrecht zur Basis stehen, was sie zu einem der wesentlichen Segmente im Studium der Geometrie eines Dreiecks macht.