Satz von Bayes Rechner

Die Grundlagen in einfacher Sprache

Der Satz von Bayes hilft Ihnen, Ihre Überzeugungen anhand neuer Informationen anzupassen. Denken Sie an ihn als ein mathematisches Werkzeug zur Beantwortung der Frage: „Wie wahrscheinlich ist meine Annahme jetzt, da ich die Beweise gesehen habe?“

Stellen Sie sich vor, Sie versuchen herauszufinden, ob es heute regnen wird. Der Satz von Bayes verwendet drei wichtige Informationen:

1. Ihre anfängliche Schätzung (z. B. 20 % Wahrscheinlichkeit für Regen).
2. Wie wahrscheinlich das Beweismittel ist, wenn Ihre Annahme wahr ist (z. B. 90 % Wahrscheinlichkeit für dunkle Wolken, wenn es regnet).
3. Wie häufig das Beweismittel im Allgemeinen auftritt (z. B. 10 % Wahrscheinlichkeit für dunkle Wolken an jedem Tag).

Die Formel kombiniert diese, um Ihnen eine aktualisierte Wahrscheinlichkeit zu geben:

Probieren Sie den Rechner aus

Dieses Tool ermöglicht es Ihnen, einen fehlenden Wert zu berechnen. Geben Sie einfach drei Prozentsätze (0–100 %) ein und wählen Sie aus, was berechnet werden soll:

Beispiel:
Wenn Sie dunkle Wolken sehen (Beweis), könnte der Rechner sagen, dass die Regenwahrscheinlichkeit von 20 % auf 64 % steigt.

Beispiele aus dem wirklichen Leben

1. Medizinische Tests: Warum “95 % Genauigkeit” irreführen kann

• Vorwissen: Nur 1 % der Menschen haben Krankheit X.
• Wahrscheinlichkeit: Der Test ist 95 % genau für kranke Patienten.
• Fehlalarme: Der Test ist bei gesunden Menschen zu 5 % fehlerhaft.
• Gesamtbeweismittel:
  $(95\% \times 1\%) + (5\% \times 99\%) = 5,9\%$
• Aktualisierter Glaube:
  $\frac{95\% \times 1\%}{5,9\%} \approx 16\%$
  Ein positiver Test bedeutet nur 16 % Risiko, nicht 95 %!

2. Spam-E-Mails: Wie “kostenlos” Filter auslöst

• Vorwissen: 2 % der E-Mails sind Spam.
• Wahrscheinlichkeit: 80 % der Spam-E-Mails enthalten “kostenlos”.
• Fehlalarme: 0,1 % der echten E-Mails enthalten “kostenlos”.
• Aktualisierter Glaube:
  $\frac{80\% \times 2\%}{(80\% \times 2\%) + (0,1\% \times 98\%)} \approx 94\%$
  Eine E-Mail mit “kostenlos” hat eine Spam-Wahrscheinlichkeit von 94 %.

Schritt-für-Schritt-Anleitung für den Rechner

Szenario: Sie möchten die Wahrscheinlichkeit einer seltenen Allergie (1 % Anfangswahrscheinlichkeit) wissen, nachdem Sie einen positiven Test erhalten haben (der Test ist zu 90 % genau für echte Fälle, 8 % Falschpositive).

1. Eingabe Vorwissen: 1 % (wie häufig die Allergie ist).
2. Eingabe Wahrscheinlichkeit: 90 % (Genauigkeit des Tests, wenn Sie allergisch sind).
3. Eingabe Gesamtbeweismittel:
   $(90\% \times 1\%) + (8\% \times 99\%) = 8,82\%$
4. Berechnen des Nachwissens:
   $\frac{90\% \times 1\%}{8,82\%} \approx 10,2\%$
   Ergebnis: Ein positiver Test bedeutet nur eine 10 %ige Wahrscheinlichkeit, dass Sie es tatsächlich haben!

Häufige Fehler, die es zu vermeiden gilt

1. Das Grundrate ignorieren: Vergessen Sie nicht die Anfangswahrscheinlichkeit (z. B. bleiben seltene Krankheiten selbst bei positiven Tests selten).
2. Verwirrung bei “Genauigkeit”: Eine “95 %ige Genauigkeit” eines Tests bedeutet nicht, dass Sie mit einer 95 %igen Wahrscheinlichkeit krank sind – es hängt davon ab, wie häufig die Krankheit ist.
3. Falsche Positiven vergessen: Fragen Sie sich immer: “Wie oft tritt dieses Beweisstück zufällig auf?”.

Warum der Satz von Bayes heute wichtig ist

• KI & Netflix-Empfehlungen: Aktualisiert Vorhersagen basierend darauf, was Sie ansehen.
• Selbstfahrende Autos: Passt Entscheidungen anhand von Echtzeit-Sensordaten an.
• COVID-Tests: Hilft bei der Interpretation von Ergebnissen in Niedrigrisiko- vs. Hochrisikogruppen.

FAQ

Kann ich statt Dezimalzahlen auch Prozentsätze verwenden?

Ja! Der Rechner arbeitet mit Eingaben von 0–100 % (keine Notwendigkeit für 0,05 = 5 %).

Was, wenn ich das “Gesamtbeweismittel” nicht kenne?

Wählen Sie im Tool “P(E) berechnen”. Es verwendet:
$P(E) = (P(E|H) \times P(H)) + (\text{Fehlerrate} \times (100\% - P(H)))$

Funktioniert der Satz von Bayes für mehrere Aktualisierungen?

Absolut! Verwenden Sie das Nachwissen (aktualisierter Glaube) als Ihr neues Vorwissen für das nächste Beweisstück.