P-Wert Rechner

Was ist ein p-Wert?

Ein p-Wert quantifiziert die Wahrscheinlichkeit, Ergebnisse zu beobachten, die mindestens so extrem sind wie die in einer Studie erhaltenen, unter der Annahme, dass die Nullhypothese (H₀) wahr ist. Er beantwortet die Frage: “Wenn die Nullhypothese wahr ist, wie wahrscheinlich sind meine Daten?”

Wichtige Definitionen

• Nullhypothese (H₀): Die Standardannahme (z. B. „kein Effekt“).
• Alternativhypothese (H₁): Die zu überprüfende Aussage (z. B. „ein Effekt existiert“).
• Teststatistik: Ein standardisierter Wert (z. B. Z-Score, t-Score), der aus Stichprobendaten berechnet wird.

Historischer Kontext

Der p-Wert wurde in den 1920er Jahren von Ronald Fisher populär gemacht. Fisher schlug einen Schwellenwert von 0,05 für statistische Signifikanz vor, eine Konvention, die bis heute diskutiert wird.

Formel

Der p-Wert hängt von der Teststatistik und der Art des Hypothesentests ab:

Allgemeine Formel

wobei $S$ die Teststatistik und $x$ ihr beobachteter Wert ist.

Z-Test

Für einen Z-Test mit Z-Score $Z$:

• Linksseitig: $\Phi(Z)$
• Rechtsseitig: $1 - \Phi(Z)$
• Zweiseitig: $2 \times \Phi(-|Z|)$

t-Test

Für einen t-Test mit $t$-Score und $df = n-1$:

• Linksseitig: $T\_{df}(t)$
• Rechtsseitig: $1 - T\_{df}(t)$
• Zweiseitig: $2 \times T\_{df}(-|t|)$

Chi-Quadrat-Test (χ²)

Für χ²-Score mit $k$ Freiheitsgraden:

• Linksseitig: $\chi²\_{k}(x)$
• Rechtsseitig: $1 - \chi²\_{k}(x)$

F-Test

Für F-Score mit $(d₁, d₂)$ Freiheitsgraden:

• Linksseitig: $F\_{d₁,d₂}(x)$
• Rechtsseitig: $1 - F\_{d₁,d₂}(x)$

Beispiele

Beispiel 1: Z-Test für den Populationsmittelwert

Szenario: Eine Fabrik behauptet, Glühbirnen halten 1 200 Stunden. Eine Stichprobe von 50 Birnen hat $\bar{X} = 1 180$, $\sigma = 100$. Testen Sie, ob der Mittelwert geringer ist als behauptet.
Lösung:

• Linksseitiger p-Wert: $\Phi(-1,414) \approx 0,078$.
  Schlussfolgerung: H₀ kann bei $\alpha = 0,05$ nicht verworfen werden.

Beispiel 2: Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit

Szenario: Eine Umfrage testet, ob Geschlecht (Männlich/Weiblich) und Präferenz (Ja/Nein) unabhängig sind. Beobachtetes χ² = 6,25, $df = 1$.
Lösung:

• Rechtsseitiger p-Wert: $1 - \chi²\_{1}(6,25) \approx 0,012$.
  Schlussfolgerung: H₀ wird bei $\alpha = 0,05$ verworfen.

Interpretationsleitfaden

• p-Wert < 0,01: Starke Evidenz gegen H₀.
• 0,01 ≤ p-Wert < 0,05: Mäßige Evidenz gegen H₀.
• p-Wert ≥ 0,05: Unzureichende Evidenz, um H₀ zu verwerfen.

Häufige Missverständnisse

1. Mythos: Ein hoher p-Wert „beweist“ H₀.
   Wahrheit: Er zeigt nur unzureichende Evidenz gegen H₀.
2. Mythos: p-Wert = Wahrscheinlichkeit, dass H₀ wahr ist.
   Wahrheit: Der p-Wert setzt voraus, dass H₀ wahr ist; er misst nicht die Wahrscheinlichkeit von H₀.

Häufig gestellte Fragen

Kann ein p-Wert negativ sein?

Nein. p-Werte repräsentieren Wahrscheinlichkeiten und müssen zwischen 0 und 1 liegen.

Wie interpretiert man einen p-Wert von 0,07?

Bei $\alpha = 0,05$ kann H₀ nicht verworfen werden. Das Ergebnis ist jedoch grenzwertig und bedarf weiterer Untersuchung.

Warum ist 0,05 ein gebräuchliches Signifikanzniveau?

Von Fisher popularisiert, balanciert 0,05 den Fehler 1. Art (falsch positiv) und Sensitivität. Es ist jedoch willkürlich und fachabhängig (z. B. Physik verwendet $5\sigma$, $p \approx 3 \times 10^{-7}$).

Wie beeinflusst die Stichprobengröße p-Werte?

Größere Stichproben erhöhen die Sensitivität, sodass kleine Effekte leichter erkannt werden. Berichten Sie immer die Effektstärke (z. B. Cohens d) neben p-Werten.

Was ist der Unterschied zwischen einseitigen und zweiseitigen Tests?

• Einseitig: Testet einen Effekt in eine Richtung (z. B. „größer als“).
• Zweiseitig: Testet Effekte in beide Richtungen. Verwendet $2 \times$ die Wahrscheinlichkeit des extremeren Bereichs.