Calculadora de altura de triángulo isósceles

¿Cuál es la altura de un triángulo isósceles?

La altura de un triángulo isósceles es una línea perpendicular trazada desde el vértice (el punto donde se encuentran los dos lados iguales) hasta la base, o la extensión de la base, del triángulo. En un triángulo isósceles, dos lados son iguales en longitud (conocidos como lados laterales), mientras que el tercer lado es la base. La altura desde el vértice hasta la base biseca la base, creando dos segmentos iguales, y actúa como la bisectriz del ángulo en el vértice. Puedes usar nuestra calculadora de triángulos isósceles para calcular su área y perímetro.

Características de las alturas en un triángulo isósceles

En un triángulo isósceles, la altura trazada desde el vértice hasta la base tiene varias características notables:

• Divide la base en dos partes iguales.
• Actúa como la mediana del triángulo.
• Es la bisectriz del ángulo en el vértice.
• Es perpendicular a la base.

La altura desde un ángulo base hacia un lado lateral tiene sus propias características:

• Es igual a la altura desde el ángulo base opuesto.
• Forma un ángulo recto con el lado lateral.
• Divide el lado lateral en segmentos desiguales.

Fórmulas para calcular alturas

Altura desde el vértice (h₁)

1. Usando el lado lateral y la base: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$

2. Usando el área y la base: $h_1 = \frac{2S}{b}$

3. Usando el ángulo de la base y el lado lateral: $h_1 = a \sin{\alpha}$

Altura desde el ángulo de la base (h₂)

1. Usando el ángulo del vértice y el lado lateral: $h_2 = a \sin{\beta}$

2. Usando el lado lateral y la base. Para comenzar, utilizaremos la fórmula para la altura desde el vértice: $h_2 = a \sin{\beta}$ donde el cálculo para el ángulo $\beta$ se realiza como: $\beta = 180° - 2\alpha$, con $\alpha=\arccos{\left(\frac{b}{2a}\right)}$

3. Usando el área y el lado lateral: $h_2 = \frac{2S}{a}$

Ejemplos de cálculos

Ejemplo 1

Dado: Lado lateral $a = 10$ cm, base $b = 12$ cm. Buscar: Altura desde el vértice $h_1$

Solución: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{100 - \frac{144}{4}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm

Ejemplo 2

Dado: Área $S = 60 \text{ cm}^2$, base $b = 10 \text{ cm}$ Buscar: Altura desde el vértice $h_1$

Solución: $h_1 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 60}{10} = 12$ cm

Ejemplo 3

Dado: Ángulo del vértice $\beta = 36°$, lado lateral $a = 15 \text{ cm}$ Buscar: Altura desde el vértice $h_2$

Solución: $h_2 = a \sin{\beta} = 15 \sin{36°} = 15 \times 0.5878 \approx 8.817 \text{ cm}$

Ejemplo 4

Dado: Área $S = 40 \text{ cm}^2$, lado lateral $a = 13 \text{ cm}$ Buscar: Altura desde el ángulo de la base $h_2$

Solución: $h_2 = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 40}{13} \approx 6.15 \text{ cm}$

Notas importantes

1. Al calcular la altura, recuerda que en un triángulo isósceles:

   • Los lados laterales son iguales.
   • Los ángulos de la base son iguales.
   • La suma de todos los ángulos es igual a 180°.

2. Considera las relaciones entre los elementos del triángulo:

   • Si $\alpha$ es un ángulo de la base, entonces $\beta = 180° - 2\alpha$
   • Si $\beta$ es el ángulo del vértice, entonces $\alpha = \frac{180° - \beta}{2}$

3. La altura puede ser dibujada ya sea dentro o fuera del triángulo, dependiendo de los ángulos:

   • Si el ángulo del vértice es agudo, la altura está dentro del triángulo.
   • Si el ángulo del vértice es obtuso, la altura está fuera del triángulo.
   • Si el ángulo del vértice es recto, la altura coincide con el lado lateral.

Preguntas frecuentes

¿Cómo encontrar la altura de un triángulo isósceles si el lado lateral es $a = 17 \text{ cm}$ y el ángulo de la base es $\alpha = 42°$?

$h_1 = a \sin{\alpha} = 17 \sin{42°} = 17 \times 0.669 \approx 11.37 \text{ cm}$

¿Cuál es la diferencia entre la altura desde el vértice y la altura desde el ángulo de la base?

La altura desde el vértice se mide hasta la base y biseca el ángulo del vértice, mientras que la altura desde un ángulo de la base se mide hasta un lado lateral y no tiene propiedades especiales.

¿Puede la altura de un triángulo isósceles ser mayor que su lado lateral?

No, la altura siempre es menor que el lado lateral ya que actúa como un cateto de un triángulo rectángulo donde el lado lateral es la hipotenusa.

¿Cómo cambia la altura del triángulo si se incrementa la base mientras los lados laterales permanecen constantes?

Incrementar la longitud de la base reducirá la altura desde el vértice, mientras que la altura desde un ángulo de la base aumentará inicialmente y luego disminuirá.

¿Cómo encontrar la altura de un triángulo isósceles si el área es $S = 48 \text{ cm}^2$ y la base es $b = 16 \text{ cm}$?

$h_1 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 48}{16} = 6 \text{ cm}$

¿Cuál es la altura de un triángulo isósceles cuando sus lados laterales son iguales a su base?

En tal caso, el triángulo es equilátero, y la altura se calcula como: $h_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ donde $a$ es la longitud del lado del triángulo.