Calculadora de volumen de poliedros

¿Qué es una calculadora de volumen de poliedros?

La calculadora de volumen de poliedros le permite calcular el volumen de una figura basada en dos criterios diferentes:

1. El volumen de un poliedro cuyos vértices son puntos de un paralelepípedo rectangular;
2. Una figura compuesta hecha de dos paralelepípedos rectangulares conectados; calcula el volumen total de la forma 3D formada por dos prismas rectangulares.

Fórmulas

Fórmula para un poliedro inscrito en un paralelepípedo

Primero, determine el tipo de poliedro inscrito en el paralelepípedo:

1. Si el poliedro es una pirámide (por ejemplo, con una base en una cara del paralelepípedo y un vértice en la esquina opuesta), el volumen se calcula como:

donde $S$ es el área de la base, y $h$ es la altura (distancia desde el vértice hasta la base).

2. Si el poliedro es un prisma (por ejemplo, entre dos caras paralelas), el volumen es:

donde $S$ es el área de la base, y $h$ es la altura del prisma.

Fórmula para un poliedro compuesto

El volumen total $V$ de un poliedro compuesto se calcula como:

Donde:

• $L_1$ y $L_2$: longitudes (lados largos) del primer y segundo paralelepípedo.
• $W_1$ y $W_2$: anchuras (lados cortos) de los dos paralelepípedos.
• $H$: altura común.

Ejemplos paso a paso

Ejemplo 1: Volumen de un poliedro según los vértices de un paralelepípedo

Encuentre el volumen de un poliedro cuyos vértices son los puntos $A, D, A_1, B, C, B_1$ de un paralelepípedo rectangular $ABCDA_1B_1C_1D_1$, donde $AB = 3$, $AD = 4$, $AA_1 = 5$, donde $ABCD$ es la base inferior del paralelepípedo, y $A_1B_1C_1D_1$ es la base superior del paralelepípedo sobre los puntos correspondientes de la base inferior.

1. Determinamos que la figura inscrita en el paralelepípedo es un prisma triangular.

2. Calcular el área de la base del prisma:

$S = \frac{1}{2} \times AA_1 \times AD = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$

3. Encontramos el volumen del prisma:

$V = S \times h = 10 \times 3 = 30$ En este ejemplo, la altura del prisma es igual a la longitud del lado $AB$.

Nota: En el ejemplo examinado, el prisma ocupa exactamente 1/2 del volumen del paralelepípedo y se puede verificar el resultado calculado encontrando el volumen del paralelepípedo: $V = 3\times4\times5 = 60$, la mitad de lo cual es 30.

Ejemplo 2: Volumen de una mesa en forma de L

Una mesa tiene los parámetros:

• Parte principal: $L_1 = 1.8\, \text{m}$, $W_1 = 0.7\, \text{m}$
• Extensión: $L_2 = 1.2\, \text{m}$, $W_2 = 0.6\, \text{m}$
• Altura $H = 0.75\, \text{m}$

Cálculo:

Antecedentes históricos

El estudio de los poliedros comenzó en la Antigua Grecia, donde Euclides y Arquímedes exploraron sus propiedades. El término “poliedro” proviene de las palabras griegas poly (muchos) y hedra (cara). Los poliedros compuestos, como los prismas conectados, ganaron importancia durante el Renacimiento para analizar elementos arquitectónicos complejos como bóvedas arqueadas y contrafuertes.

Aplicaciones

1. Arquitectura: Cálculo de materiales para estructuras de varios niveles.
2. Logística: Diseño de contenedores con varios compartimentos.
3. Manufactura: Estimación de espacio para equipos con formas complejas.

Notas

• Todas las medidas deben estar en el mismo sistema de unidades (metros, pies, etc.).
• La fórmula para figuras compuestas supone una altura común. Si las alturas son diferentes, calcule los volúmenes por separado y súmelos:

• Esta calculadora funciona solo para paralelepípedos rectangulares. Para formas complejas, utilice nuestra Calculadora de Volumen.
• Para poliedros inscritos en paralelepípedos, la calculadora admite figuras con 4–6 vértices específicos si se conocen las dimensiones del paralelepípedo.

Preguntas frecuentes

¿Cómo calcular el volumen si las alturas del prisma son diferentes?

Para diferentes alturas $H_1$ y $H_2$, calcule los volúmenes por separado y súmelos:

Ejemplo: $L_1 = 4\, \text{m}$, $W_1 = 2\, \text{m}$, $H_1 = 3\, \text{m}$; $L_2 = 3\, \text{m}$, $W_2 = 1\, \text{m}$, $H_2 = 2\, \text{m}$:

Encuentra el volumen del poliedro cuyos vértices son los puntos $A, B, C, B_1$ de un paralelepípedo rectangular $ABCDA_1B_1C_1D_1$, donde $AB = 3$, $AD = 3$, $AA_1 = 4$.

En este caso, asumimos que $ABCD$ es la base inferior del paralelepípedo y $A_1B_1C_1D_1$ es la base superior del paralelepípedo sobre los puntos correspondientes de la base inferior.

Pasos de la solución:

1. Determinamos que la figura inscrita en el paralelepípedo es una pirámide triangular con los siguientes valores conocidos: AB = 3, BC = 3 (como lado paralelo a AD) y altura BB1 = 4 (como lado paralelo a AA1).

2. Calcular el área de la base de la pirámide:

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$

3. Encontramos el volumen de la pirámide:

$V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times 4.5 \times 4 = 6$

El volumen del poliedro con vértices $A, B, C, B_1$ es 6.

¿Cómo usar la calculadora?

1. Seleccione el tipo de poliedro: “Poliedro inscrito en un paralelepípedo” o “Poliedro compuesto”.
2. Elija el número de vértices.
3. Ingrese la longitud, anchura y altura del paralelepípedo.
4. La calculadora computará automáticamente el volumen.

¿Se utilizaron poliedros compuestos en la arquitectura antigua?

Sí. Por ejemplo, la fundación del Coliseo en Roma combinó bloques trapezoidales y rectangulares para distribuir la carga en terreno irregular.