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Matemáticas

Calculadora de volumen de pirámide regular

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¿Qué es una pirámide regular?

Una pirámide regular es una forma geométrica tridimensional con un polígono regular como base y caras triangulares que convergen en un único punto llamado vértice. El vértice está perpendicular al centro de la base. Ejemplos incluyen las pirámides egipcias (bases cuadradas) y zigurat (bases rectangulares) antiguas.

Características clave:

  • Base regular: Todos los lados y ángulos del polígono base son iguales.
  • Alineación del vértice: El vértice está directamente sobre el centroide de la base.
  • Simetría: Las caras triangulares (caras laterales) son congruentes.

Fórmula para el volumen de una pirámide regular

El volumen VV de una pirámide regular se calcula mediante:

V=13×Aˊrea de la base×AlturaV = \frac{1}{3} \times \text{Área de la base} \times \text{Altura}

Aquí, la altura es la distancia perpendicular desde el vértice a la base.

Fórmulas de área de la base para polígonos regulares

  1. Triángulo (3 lados):
Aˊrea de la base=34×Longitud del lado2\text{Área de la base} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{Longitud del lado}^2
  1. Cuadrado (4 lados):
Aˊrea de la base=Longitud del lado2\text{Área de la base} = \text{Longitud del lado}^2
  1. Pentágono (5 lados):
Aˊrea de la base=52×Longitud del lado×Apotema\text{Área de la base} = \frac{5}{2} \times \text{Longitud del lado} \times \text{Apotema}
  1. Hexágono (6 lados):
Aˊrea de la base=332×Longitud del lado2\text{Área de la base} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \text{Longitud del lado}^2

El apotema (distancia desde el centro del polígono a un lado) para un polígono regular con nn lados es:

Apotema=Longitud del lado2tan⁡(πn)\text{Apotema} = \frac{\text{Longitud del lado}}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}

Ejemplos de cálculos de volumen

Ejemplo 1: Pirámide de base cuadrada

Problema: Una pirámide tiene una base cuadrada con una longitud de lado de 8 cm y una altura de 12 cm. Encuentre su volumen.
Solución:

  1. Área de la base:
82=64 cm28^2 = 64 \, \text{cm}^2
  1. Volumen:
V=13×64×12=256 cm3V = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 = 256 \, \text{cm}^3

Ejemplo 2: Pirámide de base hexagonal

Problema: Una pirámide hexagonal tiene una longitud de lado de 6 cm y una altura de 15 cm. Calcule su volumen.
Solución:

  1. Área de la base:
332×62=332×36=93,53 cm2\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 36 = 93,53 \, \text{cm}^2
  1. Volumen:
V=13×93,53×15=467,64 cm3V = \frac{1}{3} \times 93,53 \times 15 = 467,64 \, \text{cm}^3

Ejemplo 3: Pirámide de base pentagonal

Problema: Una pirámide pentagonal tiene una longitud de lado de 4 cm, un apotema de 2,75 cm y una altura de 10 cm. Determine su volumen.
Solución:

  1. Área de la base:
52×4×2,75=27,5 cm2\frac{5}{2} \times 4 \times 2,75 = 27,5 \, \text{cm}^2
  1. Volumen:
V=13×27,5×10=91,67 cm3V = \frac{1}{3} \times 27,5 \times 10 = 91,67 \, \text{cm}^3

Notas

  • Altura vs. altura inclinada: La altura es perpendicular a la base, mientras que la altura inclinada es la distancia diagonal a lo largo de una cara lateral.
  • Consistencia de unidades: Asegúrese de que todas las medidas (longitud de lado, altura) estén en la misma unidad.
  • Perspectiva histórica: La fórmula V=13×Aˊrea de la base×AlturaV = \frac{1}{3} \times \text{Área de la base} \times \text{Altura} fue probada por primera vez por Euclides en Elementos (Libro XII).

Preguntas frecuentes

¿Cómo calcular el volumen si solo se conoce la altura inclinada?

Problema: Una pirámide cuadrada tiene un borde de base de 10 cm y una altura inclinada de 13 cm.
Solución:

  1. Encuentre la altura vertical usando el teorema de Pitágoras:
h=Altura inclinada2−(Borde de la base2)2=132−52=12 cmh = \sqrt{\text{Altura inclinada}^2 - \left(\frac{\text{Borde de la base}}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \, \text{cm}
  1. Volumen:
V=13×102×12=400 cm3V = \frac{1}{3} \times 10^2 \times 12 = 400 \, \text{cm}^3

¿Por qué hay un 13\frac{1}{3} en la fórmula del volumen?

El factor 13\frac{1}{3} se da porque el volumen de una pirámide es exactamente un tercio del de un prisma con la misma base y altura. Esto puede demostrarse dividiendo un cubo en tres pirámides congruentes.

¿Cuál es el volumen de una pirámide hexagonal con una longitud de lado de 5 cm y una altura de 9 cm?

  1. Área de la base:
332×52=64,95 cm2\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 5^2 = 64,95 \, \text{cm}^2
  1. Volumen:
V=13×64,95×9=194,86 cm3V = \frac{1}{3} \times 64,95 \times 9 = 194,86 \, \text{cm}^3

¿Cómo afecta el cambio en el número de lados de la base al volumen?

Aumentar el número de lados (por ejemplo, de cuadrado a hexágono) agranda el área de la base para una longitud de lado fija, aumentando así el volumen. Por ejemplo, un cuadrado (lado de 4 cm) tiene un área de base de 16 cm², mientras que un hexágono (lado de 4 cm) tiene un área de base de 41,57 cm241,57 \, \text{cm}^2.

Encuentra el volumen de una pirámide triangular regular si el lado de la base es de 3 cm y la altura es de 4 cm.

Para encontrar el volumen de una pirámide triangular regular con un lado de base de 3 cm y una altura de 4 cm, use la fórmula del volumen de la pirámide y sustituya los valores conocidos.

Encuentre el área de la base. La base es un triángulo regular con una longitud de lado de 3 cm. El área de un triángulo regular se calcula usando:

Areabase=a234Area_{\text{base}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}

Sustituya el valor de a=3a = 3 y encuentre el área:

Areabase=3234=934 cm2Area_{\text{base}} = \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2

Ahora sustituya el área de la base y la altura en la fórmula de volumen:

V=13×934×4=33 cm3V = \frac{1}{3} \times \frac{9 \sqrt{3}}{4} \times 4 = 3 \sqrt{3} \, \text{cm}^3

El volumen de una pirámide triangular regular es 33 cm3{3 \sqrt{3}} \, \text{cm}^3.

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