Calculadora de volumen de pirámide truncada

¿Qué es una pirámide truncada?

Una pirámide truncada, también conocida como tronco de pirámide, es una forma geométrica tridimensional formada al cortar la parte superior de una pirámide con un plano paralelo a su base. Esto da como resultado dos bases poligonales paralelas (la base original y la parte superior truncada) conectadas por caras trapezoidales. Las pirámides truncadas se encuentran comúnmente en arquitectura, ingeniería y objetos cotidianos como cubos o pantallas de lámparas.

Fórmula para el volumen de una pirámide truncada

El volumen $V$ de una pirámide truncada se puede calcular utilizando las áreas de las dos bases y la altura (la distancia perpendicular entre las bases). La fórmula es:

Donde:

• $S_1$ = Área de la base inferior
• $S_2$ = Área de la base superior
• $h$ = Altura de la pirámide truncada

Esta fórmula se aplica solo si el recorte es paralelo a la base y ambas bases son similares en forma (por ejemplo, ambos cuadrados o ambos rectángulos).

Ejemplos de cálculo paso a paso

Ejemplo 1: Bases cuadradas

Problema:
Una pirámide truncada tiene un área de la base inferior de $100 \, \text{cm}^2$, un área de la base superior de $25 \, \text{cm}^2$ y una altura de $12 \, \text{cm}$. Calcula su volumen.

Solución:

1. Sustituir los valores en la fórmula: $$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \left( 100 + 25 + \sqrt{100 \cdot 25} \right)$$
2. Simplificar el término de la raíz cuadrada: $$\sqrt{100 \cdot 25} = \sqrt{2.500} = 50$$
3. Combinar los términos: $$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot (100 + 25 + 50) = 4 \cdot 175 = 700 \, \text{cm}^3$$

Ejemplo 2: Bases rectangulares

Problema:
Un tronco de pirámide tiene una base inferior de $8 \, \text{m} \times 6 \, \text{m}$ y una base superior de $4 \, \text{m} \times 3 \, \text{m}$. La altura es $5 \, \text{m}$. Encuentra su volumen.

Solución:

1. Calcular las áreas: $$S_1 = 8 \cdot 6 = 48 \, \text{m}^2, \quad S_2 = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{m}^2$$
2. Sustituir en la fórmula: $$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot \left( 48 + 12 + \sqrt{48 \cdot 12} \right)$$
3. Simplificar el término de la raíz cuadrada: $$\sqrt{576} = 24$$
4. Combinar los términos: $$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 84 = 140 \, \text{m}^3$$

Contexto histórico y aplicaciones

El concepto de pirámides truncadas se remonta a civilizaciones antiguas. Por ejemplo:

• Las pirámides egipcias a menudo se construían con partes superiores truncadas por razones religiosas o estructurales.
• Los zigurats mesopotámicos parecían pirámides truncadas escalonadas.

Las aplicaciones modernas incluyen:

• Arquitectura: Diseñar tragaluces o atrios.
• Ingeniería: Calcular volúmenes de materiales para componentes como chimeneas o tuberías.
• Modelado 3D: Crear formas cónicas en gráficos por computadora.

Errores comunes a evitar

1. Confundir altura con altura inclinada: La altura $h$ es la distancia perpendicular entre las bases, no la longitud de la cara lateral.
2. Bases no paralelas: La fórmula supone que las bases son paralelas. Si no lo son, la forma no es un tronco, y la fórmula no se aplica.
3. Unidades inconsistentes: Asegúrate de que todas las mediciones (áreas y altura) utilicen el mismo sistema de unidades.

Área de las bases

Para el cálculo del área de las bases de una pirámide truncada, puede utilizar las siguientes calculadoras:

• Área de un cuadrado
• Área de un rectángulo
• Área de un triángulo
• Área de un polígono regular
• Área de un trapecio

Preguntas frecuentes

¿Cómo convertir unidades antes de hacer el cálculo?

Convierte todas las mediciones a la misma unidad. Por ejemplo, si $S_1 = 2 \, \text{m}^2$, $S_2 = 1.500 \, \text{cm}^2$, convierte $S_2$ a $0,15 \, \text{m}^2$ antes de aplicar la fórmula. Para la conversión de unidades de área, utiliza nuestro convertidor convertidor de unidades de área.

¿Por qué hay una raíz cuadrada en la fórmula?

El término $\sqrt{S_1 \cdot S_2}$ representa geométricamente el “promedio” de las áreas de las dos bases, teniendo en cuenta la escala lineal entre ellas debido a la altura.

¿Cuál es el volumen de una pirámide truncada con bases de 10x10 cm y 5x5 cm y altura 7 cm?

El volumen de la pirámide truncada es 408,33 cm³.