Calculateur de périmètre d'ellipse

Qu’est-ce que le périmètre d’une ellipse ?

Le périmètre d’une ellipse est la longueur de son contour. Une ellipse est une figure géométrique qui généralise un cercle et est définie par deux axes : l’axe majeur (a) et l’axe mineur (b). En raison de sa forme, la détermination du périmètre d’une ellipse est une tâche plus complexe que le calcul de la circonférence d’un cercle. Il n’existe pas de formule unique pour calculer exactement le périmètre d’une ellipse par des moyens élémentaires, et pour cette raison, diverses formules approximatives sont utilisées.

L’une des formules approximatives les plus connues pour calculer le périmètre d’une ellipse est la formule de Ramanujan. Le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan l’a proposée au début du 20ème siècle, et elle a depuis été largement utilisée en raison de sa précision en approximation. Cette formule montre comment l’ellipse peut être envisagée dans le contexte de problèmes géométriques et de calculs quotidiens.

Historique de la formule de Ramanujan

La formule de Ramanujan pour le calcul approximatif du périmètre d’une ellipse a été proposée au début des années 1900. Srinivasa Ramanujan, un mathématicien indien renommé, a développé cette formule après de nombreuses expériences et analyses de diverses méthodes d’approximation. Son approche a considérablement simplifié le calcul de la longueur de l’ellipse avec une grande précision sans avoir besoin d’outils mathématiques complexes.

La formule a été publiée dans l’une de ses lettres à G.H. Hardy, avec qui Ramanujan avait une collaboration professionnelle. Bien que la formule elle-même soit approximative, elle a prouvé son efficacité dans de nombreuses applications pratiques, fournissant des résultats avec une grande précision.

Application de la formule et sa précision

Bien que la formule de Ramanujan ne soit pas la seule disponible, sa valeur réside dans sa simplicité et son accessibilité pour les calculs. Elle est utilisée dans diverses tâches d’ingénierie et scientifiques où la connaissance du périmètre d’une ellipse est requise, comme en architecture, en ingénierie mécanique et en astronomie.

La formule de Ramanujan évite l’utilisation d’intégrales complexes et d’équations différentielles qui seraient nécessaires pour le calcul exact de la longueur de la courbe de l’ellipse. Cependant, pour les calculs les plus précis, des méthodes de calcul plus complexes, telles que l’intégration numérique, peuvent être utilisées.

Formule

La formule de Ramanujan pour le calcul approximatif du périmètre d’une ellipse est la suivante :

où $a$ est le demi-axe majeur de l’ellipse, et $b$ est le demi-axe mineur de l’ellipse.

Cette formule permet de calculer le périmètre en se basant sur des opérations arithmétiques élémentaires et la fonction racine carrée.

Exemples

Exemple 1
Pour une ellipse avec un demi-axe majeur $a = 5$ et un demi-axe mineur $b = 3$, le périmètre est approximativement calculé comme suit :

Calcul donne :

Exemple 2
Supposons $a = 10$ et $b = 7$, calculons le périmètre de l’ellipse :

Remarques

La formule de Ramanujan est suffisante pour l’essentiel des besoins pratiques, mais sa précision peut diminuer pour des ellipses très allongées, où le rapport entre les axes majeurs et mineurs diverge de manière significative.

Pour plus de flexibilité et de précision, notamment pour les applications professionnelles, des méthodes plus complexes, telles que l’intégration numérique, peuvent être utilisées pour tenir compte des spécificités du modèle mathématique de l’ellipse.

Questions fréquemment posées

Pourquoi cette formule est-elle approximative ?

La formule de Ramanujan approxime le périmètre car la géométrie de l’ellipse n’a pas une solution élémentaire exacte pour la longueur de sa périphérie.

Comment calculer le périmètre d’une ellipse, étant donné que les longueurs des demi-axes sont de 2,5 et 3,5 cm ?

En utilisant la formule de Ramanujan :

Les valeurs des demi-axes d’une ellipse suffisent-elles pour calculer son aire ?

Oui, les valeurs des demi-axes $a$ et $b$ suffisent pour calculer l’aire d’une ellipse. La formule pour l’aire d’une ellipse est : $A = \pi \cdot a \cdot b$. Pour plus de commodité, vous pouvez utiliser le calculateur d’aire d’ellipse.

Quel est le terme correct : la circonférence d’une ellipse ou le périmètre d’une ellipse ?

Le terme correct est “le périmètre d’une ellipse.” Le terme “circonférence” est traditionnellement utilisé pour des concepts associés aux cercles, tandis qu’une ellipse n’est généralement pas un cercle.