Calculateur de triangle isocèle

Qu’est-ce qu’un triangle isocèle ?

Un triangle isocèle est une figure géométrique caractérisée par deux côtés égaux appelés jambes. Le troisième côté, qui n’est pas égal aux deux autres, est appelé la base. Une propriété remarquable des triangles isocèles est que les angles opposés aux côtés égaux, connus sous le nom d’angles de base, sont également égaux. L’angle entre les deux côtés égaux est appelé l’angle du sommet. En raison de leur symétrie, les triangles isocèles sont largement utilisés en géométrie et possèdent de nombreuses propriétés intéressantes et des théorèmes qui leur sont associés.

Que peut calculer cette calculatrice ?

Ce calculateur permet de calculer en ligne les côtés, les hauteurs, les angles, l’aire et le périmètre d’un triangle isocèle si certains paramètres sont connus. Pour calculer d’autres paramètres d’un triangle isocèle, vous pouvez utiliser des calculateurs supplémentaires pour les côtés, la base, la hauteur, et les angles.

Termes clés et notations

• Jambes ($a$) : Les deux côtés égaux du triangle.
• Base ($b$) : Le côté qui est différent des jambes, situé en face du sommet.
• Hauteur depuis le sommet ($h_1$) : Une perpendiculaire abaissée du sommet à la base (agit également comme mediane et bissectrice).
• Hauteur vers les jambes ($h_2$) : Une perpendiculaire abaissée depuis l’angle de base vers la jambe opposée.
• Angle du sommet ($\beta$) : L’angle entre les deux jambes égales.
• Angles de base ($\alpha$) : Les angles situés aux extrémités de la base.
• Périmètre ($P$) : La somme des longueurs de tous les côtés du triangle.
• Aire ($S$) : L’espace enclos par les côtés du triangle.

Propriétés d’un triangle isocèle

1. Égalité des jambes : Les jambes (désignées par $a$) sont égales en longueur.
2. Égalité des angles de base : Les angles de base (désignés par $\alpha$) sont égaux.
3. Porteur de moyenne, hauteur, et bissectrice : Depuis le sommet, la hauteur, la moyenne et la bissectrice coïncident et forment un angle droit avec la base.
4. Égalité des hauteurs vers les jambes : Les hauteurs depuis les angles de base vers les jambes opposées sont égales.
5. Égalité des bissectrices des angles de base : Les bissectrices des angles de base sont égales.

Formules

Voici les formules de base pour calculer l’aire et le périmètre d’un triangle isocèle :

Voici les formules de base pour calculer certaines valeurs du triangle isocèle.

1. Formule pour calculer le côté $a$ :

   $$a = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + h_1^2}$$

2. Formule pour calculer la base $b$ :

   $$b = \sqrt{4a^2 - 4h_1^2}$$

3. Calcul de la hauteur depuis le sommet (médiane et bisectrice) $h_1$ :

   $$h_1 = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

4. Formule pour calculer la hauteur vers le côté $h_2$ :

   $$h_2 = a \cdot \sin\left(\beta\right)$$

5. Trouver l’angle du sommet $\beta$ :

   $$\beta = 180^\circ - 2 \cdot \arccos\left(\frac{b}{2a}\right)$$

6. Calculer les angles de base $\alpha$ :

   $$\alpha = \frac{180^\circ - \beta}{2}$$

7. Calculer la surface $S$ avec les formules : En connaissant les jambes et la base :

   $$S = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$$

   En connaissant la base et la hauteur :

   $$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$$

   En connaissant la jambe et l’angle du sommet :

   $$A = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$$

8. Périmètre ($P$) :

   $$P = 2a + b$$

   Si la base $b$ et la hauteur $h_1$ sont connues, remplacez $a$ dans la formule du périmètre :

   $$a = \sqrt{h_1^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

   Si la jambe $a$ et l’angle du sommet $\beta$ sont connus, remplacez $b$ par :

   $$b = 2a \cdot \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$$

Exemples

Exemple de calcul du côté

Supposons que nous avons un triangle avec une base de $b = 8$ et une hauteur depuis le sommet $h_1 = 6$. Nous trouvons le côté $a$ :

Exemple de calcul de la base

Si le côté est $a = 5$ et la hauteur depuis le sommet $h_1 = 4$, nous calculons la base $b$ :

Trouver l’angle du sommet

Si le côté $a = 10$ et la base $b = 16$, nous trouvons l’angle du sommet $\beta$ :

Calculer la surface

Exemple 1 : Trouvez l’aire d’un triangle isocèle avec une longueur de jambe de $a = 5$ cm et une longueur de base de $b = 6$ cm.

En utilisant la formule :

Remplacez les valeurs connues :

Exemple 2 : Trouvez l’aire d’un triangle isocèle avec une base de $b = 8$ cm et une hauteur de $h_1 = 5$ cm.

En utilisant la formule :

Remplacez les valeurs connues :

Exemple 3 : Trouvez l’aire d’un triangle isocèle avec une jambe de $a = 7$ cm et un angle du sommet de $\beta = 45^\circ$.

En utilisant la formule :

Remplacez les valeurs connues :

Exemple de calcul de périmètre

Exemple 1 : Si la base d’un triangle isocèle est de 8 cm et sa hauteur est de 6 cm, trouvez le périmètre.

1. Calculez la jambe :

   $$a = \sqrt{6^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \approx 7.21 \text{ cm}$$

2. Périmètre ($P$) :

   $$P = 2 \times 7.21 + 8 = 22.42 \text{ cm}$$

Exemple 2 : Si la jambe d’un triangle isocèle mesurait 10 cm et que l’angle du sommet était de 60º, trouvez le périmètre.

1. Calculez la base :

   $$b = 2 \times 10 \cdot \sin\left(30º\right) = 20 \times 0.5 = 10 \text{ cm}$$

2. Périmètre ($P$) :

   $$P = 2 \times 10 + 10 = 30 \text{ cm}$$

Notes

• Un triangle isocèle peut être un triangle équilatéral si tous les côtés sont égaux.
• La hauteur agit également comme médiane et bissectrice en raison de sa symétrie.
• Les fonctions trigonométriques sont souvent utilisées pour calculer les angles et les hauteurs.

Questions fréquentes

Comment l’aire d’un triangle isocèle est-elle calculée ?

L’aire d’un triangle isocèle peut être calculée de plusieurs manières :

• En connaissant la base et la hauteur: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$
• En connaissant la jambe et l’angle du sommet: $S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$
• En connaissant la base et une jambe: $S = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$

Toutes les hauteurs d’un triangle isocèle sont-elles égales ?

Non, la hauteur depuis le sommet est égale à la médiane et la bissectrice vers la base, tandis que les hauteurs depuis les angles de base vers les jambes opposées sont égales entre elles.

Comment trouver le périmètre d’un triangle isocèle si la jambe est de 7 cm et la base est de 10,5 cm ?

Utilisez la formule: $P = 2a + b$.

Dans ce cas, $a = 7$, $b = 10.5$; donc, $P = 2 \times 7 + 10.5 = 24.5 \text{ cm}$.

Quelles données sont nécessaires pour calculer le périmètre d’un triangle isocèle ?

Pour calculer le périmètre, la longueur de la base et d’une jambe est suffisante. La hauteur ou les angles peuvent également être utilisés dans les calculs combinés.

La formule de Héron peut-elle être utilisée pour calculer l’aire d’un triangle isocèle ?

La formule de Héron peut être utilisée pour déterminer l’aire si tous les côtés du triangle sont connus. Elle est applicable aux triangles isocèles ainsi qu’à tout autre triangle.