Calculateur de hauteur de triangle isocèle

Quelle est la hauteur d’un triangle isocèle

La hauteur d’un triangle isocèle est une ligne perpendiculaire tracée depuis le sommet (le point où les deux côtés égaux se rencontrent) jusqu’à la base, ou prolongation de la base, du triangle. Dans un triangle isocèle, deux côtés sont égaux en longueur (appelés côtés latéraux), tandis que le troisième côté est la base. La hauteur du sommet à la base bisecte la base, créant deux segments égaux, et agit comme la bissectrice de l’angle au sommet. Vous pouvez utiliser notre calculatrice de triangle isocèle pour calculer son aire et son périmètre.

Caractéristiques des hauteurs dans un triangle isocèle

Dans un triangle isocèle, la hauteur tracée depuis le sommet jusqu’à la base a plusieurs caractéristiques remarquables:

• Elle divise la base en deux parties égales.
• Elle agit comme la médiane du triangle.
• Elle est la bissectrice de l’angle au sommet.
• Elle est perpendiculaire à la base.

La hauteur depuis un angle de base jusqu’à un côté latéral a ses propres caractéristiques:

• Elle est égale à la hauteur depuis l’angle de base opposé.
• Elle forme un angle droit avec le côté latéral.
• Elle divise le côté latéral en segments inégaux.

Formules pour calculer les hauteurs

Hauteur depuis le sommet (h₁)

1. En utilisant le côté latéral et la base: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$

2. En utilisant l’aire et la base : $h_1 = \frac{2S}{b}$

3. En utilisant l’angle de la base et le côté latéral : $h_1 = a \sin{\alpha}$

Hauteur depuis l’angle de la base (h₂)

1. En utilisant l’angle du sommet et le côté latéral : $h_2 = a \sin{\beta}$

2. En utilisant le côté latéral et la base. Pour commencer, nous utiliserons la formule pour la hauteur depuis le sommet: $h_2 = a \sin{\beta}$ où le calcul pour l’angle $\beta$ est effectué comme suit : $\beta = 180° - 2\alpha$, avec $\alpha=\arccos{\left(\frac{b}{2a}\right)}$

3. En utilisant l’aire et le côté latéral : $h_2 = \frac{2S}{a}$

Exemples de calculs

Exemple 1

Donné : Côté latéral $a = 10$ cm, base $b = 12$ cm. Trouver : Hauteur depuis le sommet $h_1$

Solution : $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{100 - \frac{144}{4}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm

Exemple 2

Donné : Aire $S = 60 \text{ cm}^2$, base $b = 10 \text{ cm}$ Trouver : Hauteur depuis le sommet $h_1$

Solution : $h_1 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 60}{10} = 12$ cm

Exemple 3

Donné : Angle du sommet $\beta = 36°$, côté latéral $a = 15 \text{ cm}$ Trouver : Hauteur depuis le sommet $h_2$

Solution : $h_2 = a \sin{\beta} = 15 \sin{36°} = 15 \times 0.5878 \approx 8.817 \text{ cm}$

Exemple 4

Donné : Aire $S = 40 \text{ cm}^2$, côté latéral $a = 13 \text{ cm}$ Trouver : Hauteur depuis l’angle de la base $h_2$

Solution : $h_2 = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 40}{13} \approx 6.15 \text{ cm}$

Notes importantes

1. Lors du calcul de la hauteur, n’oubliez pas que dans un triangle isocèle :

   • Les côtés latéraux sont égaux.
   • Les angles de base sont égaux.
   • La somme de tous les angles est égale à 180°.

2. Considérez les relations entre les éléments du triangle :

   • Si $\alpha$ est un angle de base, alors $\beta = 180° - 2\alpha$
   • Si $\beta$ est l’angle du sommet, alors $\alpha = \frac{180° - \beta}{2}$

3. La hauteur peut être tracée à l’intérieur ou à l’extérieur du triangle, selon les angles :

   • Si l’angle du sommet est aigu, la hauteur est à l’intérieur du triangle.
   • Si l’angle du sommet est obtus, la hauteur est à l’extérieur du triangle.
   • Si l’angle du sommet est droit, la hauteur coïncide avec le côté latéral.

Questions fréquentes

Comment trouver la hauteur d’un triangle isocèle si le côté latéral est $a = 17 \text{ cm}$ et l’angle de la base est $\alpha = 42°$ ?

$h_1 = a \sin{\alpha} = 17 \sin{42°} = 17 \times 0.669 \approx 11.37 \text{ cm}$

Quelle est la différence entre la hauteur depuis le sommet et la hauteur depuis l’angle de la base ?

La hauteur depuis le sommet est mesurée vers la base et bissecte l’angle du sommet, tandis que la hauteur depuis un angle de base est mesurée vers un côté latéral et n’a pas de propriétés spéciales à part être perpendiculaire au côté.

La hauteur d’un triangle isocèle peut-elle être supérieure à son côté latéral ?

Non, la hauteur est toujours inférieure au côté latéral puisqu’elle agit comme un côté d’un triangle rectangle où le côté latéral est l’hypoténuse.

Comment la hauteur du triangle change-t-elle si la base est augmentée tout en gardant les côtés latéraux constants ?

Augmenter la longueur de la base diminuera la hauteur depuis le sommet, tandis que la hauteur depuis un angle de base augmentera d’abord puis diminuera.

Comment trouver la hauteur d’un triangle isocèle si l’aire est $S = 48 \text{ cm}^2$ et la base est $b = 16 \text{ cm}$ ?

$h_1 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 48}{16} = 6 \text{ cm}$

Quelle est la hauteur d’un triangle isocèle lorsque ses côtés latéraux sont égaux à sa base ?

Dans ce cas, le triangle est équilatéral et la hauteur est calculée comme suit: $h_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ où $a$ est la longueur du côté du triangle.