Calculateur de volume de polyèdre

Qu’est-ce qu’un calculateur de volume de polyèdre ?

Le calculateur de volume de polyèdre vous permet de calculer le volume d’une figure selon deux critères différents :

1. Le volume d’un polyèdre dont les sommets sont des points d’un parallélépipède rectangle ;
2. Une figure composite composée de deux parallélépipèdes rectangles connectés ; il calcule le volume total de la forme 3D formée par deux prismes rectangulaires.

Formules

Formule pour un polyèdre inscrit dans un parallélépipède

Premièrement, déterminez le type de polyèdre inscrit dans le parallélépipède :

1. Si le polyèdre est une pyramide (par exemple, avec une base sur une face du parallélépipède et un sommet à l’angle opposé), le volume est calculé comme suit :

où $S$ est l’aire de la base, et $h$ est la hauteur (distance du sommet à la base).

2. Si le polyèdre est un prisme (par exemple, entre deux faces parallèles), le volume est :

où $S$ est l’aire de la base, et $h$ est la hauteur du prisme.

Formule pour un polyèdre composite

Le volume total $V$ d’un polyèdre composite est calculé comme suit :

Où :

• $L_1$ et $L_2$ : longueurs (longs côtés) des premier et deuxième parallélépipèdes.
• $W_1$ et $W_2$ : largeurs (côtés courts) des deux parallélépipèdes.
• $H$ : hauteur commune.

Exemples étape par étape

Exemple 1 : Volume d’un polyèdre à partir des sommets d’un parallélépipède

Trouvez le volume d’un polyèdre dont les sommets sont les points $A, D, A_1, B, C, B_1$ d’un parallélépipède rectangle $ABCDA_1B_1C_1D_1$, où $AB = 3$, $AD = 4$, $AA_1 = 5$, où $ABCD$ est la base inférieure du parallélépipède, et $A_1B_1C_1D_1$ est la base supérieure du parallélépipède au-dessus des points correspondants de la base inférieure.

1. Déterminons que la figure inscrite dans le parallélépipède est un prisme triangulaire.

2. Calculons la superficie de la base du prisme :

$S = \frac{1}{2} \times AA_1 \times AD = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$

3. Trouvons le volume du prisme :

$V = S \times h = 10 \times 3 = 30$ Dans cet exemple, la hauteur du prisme est égale à la longueur du côté $AB$.

Remarque : Dans l’exemple examiné, le prisme occupe exactement 1/2 du volume du parallélépipède et le résultat obtenu peut être vérifié en calculant le volume du parallélépipède : $V = 3\times4\times5 = 60$, dont la moitié est 30.

Exemple 2 : Volume d’une table en forme de L

Une table a les paramètres suivants :

• Partie principale : $L_1 = 1,8\ \text{m}$, $W_1 = 0,7\ \text{m}$
• Extension : $L_2 = 1,2\ \text{m}$, $W_2 = 0,6\ \text{m}$
• Hauteur $H = 0,75\ \text{m}$

Calcul :

Contexte historique

L’étude des polyèdres a commencé dans la Grèce antique, où Euclide et Archimède ont exploré leurs propriétés. Le terme “polyèdre” dérive des mots grecs poly (nombreux) et hedra (face). Les polyèdres composites, tels que les prismes connectés, ont gagné en importance à la Renaissance pour l’analyse d’éléments architecturaux complexes comme les voûtes arquées et les contreforts.

Applications

1. Architecture : Calcul des matériaux pour des structures à plusieurs niveaux.
2. Logistique : Conception de conteneurs avec plusieurs compartiments.
3. Fabrication : Estimation de l’espace pour les équipements aux formes complexes.

Notes

• Toutes les mesures doivent être dans le même système d’unités (mètres, pieds, etc.).
• La formule pour les figures composites suppose une hauteur commune. Si les hauteurs diffèrent, calculez les volumes séparément et additionnez-les :

• Ce calculateur fonctionne uniquement pour les parallélépipèdes rectangles. Pour les formes complexes, utilisez notre Calculateur de volume.
• Pour les polyèdres inscrits dans des parallélépipèdes, le calculateur supporte les figures avec 4–6 sommets spécifiques si les dimensions du parallélépipède sont connues.

FAQ

Comment calculer le volume si les hauteurs des prismes diffèrent ?

Pour des hauteurs différentes $H_1$ et $H_2$, calculez les volumes séparément et additionnez-les :

Exemple : $L_1 = 4\ \text{m}$, $W_1 = 2\ \text{m}$, $H_1 = 3\ \text{m}$ ; $L_2 = 3\ \text{m}$, $W_2 = 1\ \text{m}$, $H_2 = 2\ \text{m}$ :

Trouvez le volume du polyèdre dont les sommets sont les points $A, B, C, B_1$ du parallélépipède rectangle $ABCDA_1B_1C_1D_1$, avec $AB = 3$, $AD = 3$, $AA_1 = 4$.

Dans ce cas, nous supposons que $ABCD$ est la base inférieure du parallélépipède, et $A_1B_1C_1D_1$ est la base supérieure du parallélépipède au-dessus des points correspondants de la base inférieure.

Étapes de solution :

1. Déterminons que la figure inscrite dans le parallélépipède est une pyramide triangulaire avec les valeurs connues suivantes : AB = 3, BC = 3 (comme côté parallèle à AD) et hauteur BB1 = 4 (comme côté parallèle à AA1).

2. Calculons la superficie de la base de la pyramide :

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4,5$

3. Trouvons le volume de la pyramide :

$V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times 4,5 \times 4 = 6$

Le volume du polyèdre avec les sommets $A, B, C, B_1$ est 6.

Comment utiliser le calculateur ?

1. Sélectionnez le type de polyèdre : “Polyèdre inscrit dans un parallélépipède” ou “Polyèdre composite”.
2. Choisissez le nombre de sommets.
3. Entrez la longueur, la largeur et la hauteur du parallélépipède.
4. Le calculateur calculera automatiquement le volume.

Les polyèdres composites étaient-ils utilisés dans l’architecture ancienne ?

Oui. Par exemple, les fondations du Colisée à Rome combinaient des blocs trapézoïdaux et rectangulaires pour répartir la charge sur un terrain inégal.