Calculateur de volume de pyramide

Qu’est-ce qu’une pyramide ?

Une pyramide est une forme géométrique tridimensionnelle avec une base polygonale et des faces triangulaires qui convergent en un point unique appelé l’apex. Les pyramides sont classées en fonction de la forme de leur base :

• Pyramide triangulaire : La base est un triangle (tétraèdre).
• Pyramide quadrangulaire : La base est un polygone à quatre côtés (par exemple, carré, rectangle).
• Pyramide polygonale : La base est un polygone régulier (par exemple, pentagone, hexagone).
• Pyramide tronquée (tronc) : Une pyramide avec son sommet coupé par un plan parallèle à la base.

Le volume d’une pyramide quantifie l’espace qu’elle occupe et est un concept fondamental en géométrie, architecture et ingénierie.

Formule

Formule générale pour le volume de la pyramide

Le volume $V$ de toute pyramide est calculé comme :

Ici, la hauteur est la distance perpendiculaire de la base à l’apex.

Formules spécialisées :

1. Pyramide triangulaire : $$V = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times \text{Longueur de la base} \times \text{Hauteur de la base} \right) \times \text{Hauteur de la pyramide}$$
2. Pyramide carrée : $$V = \frac{1}{3} \times \text{Côté de la base}^2 \times \text{Hauteur}$$
3. Pyramide rectangulaire : $$V = \frac{1}{3} \times \text{Longueur} \times \text{Largeur} \times \text{Hauteur}$$
4. Pyramide polygonale régulière : $$V = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times \text{Périmètre} \times \text{Apothème} \right) \times \text{Hauteur}$$ L’apothème est la distance du centre au milieu d’un côté.
5. Pyramide tronquée : $$V = \frac{1}{3} \times h \times \left( S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \times S_2} \right)$$ Ici, $S_1$ et $S_2$ sont les surfaces des deux bases parallèles, et $h$ est la hauteur entre elles.

Exemples

Exemple 1 : Pyramide carrée

Une pyramide carrée a un côté de base de $4 \, \text{m}$ et une hauteur de $9 \, \text{m}$. Calculez son volume.

1. Surface de la base : $4^2 = 16 \, \text{m}^2$.
2. Volume : $\frac{1}{3} \times 16 \times 9 = 48 \, \text{m}^3$.

Exemple 2 : Pyramide carrée tronquée

Une pyramide tronquée a une surface de base $S_1 = 36 \, \text{m}^2$, une surface supérieure $S_2 = 9 \, \text{m}^2$, et une hauteur $h = 3 \, \text{m}$.

1. Substituer dans la formule :

Exemple 3 : Pyramide triangulaire

Une pyramide triangulaire a une base de longueur $5 \, \text{cm}$ et une hauteur $6 \, \text{cm}$. La hauteur de la pyramide est $10 \, \text{cm}$.

1. Surface de la base : $\frac{1}{2} \times 5 \times 6 = 15 \, \text{cm}^2$.
2. Volume : $\frac{1}{3} \times 15 \times 10 = 50 \, \text{cm}^3$.

Contexte historique

La première formule connue pour le volume de la pyramide remonte à l’Égypte ancienne (v. 1850 av. J.-C.) et est documentée dans le Papyrus mathématique de Moscou. Le papyrus contient un problème calculant le volume d’une pyramide tronquée, démontrant une compréhension géométrique avancée bien avant que des mathématiciens grecs comme Euclide ne formalisent la géométrie.

Applications

1. Architecture : Les pyramides sont utilisées dans les conceptions de toits et les structures monumentales.
2. Emballage : Les formes tétraédriques (pyramides triangulaires) optimisent l’espace dans l’emballage.
3. Géologie : Calcul du volume des formations terrestres pyramidales naturelles.

Questions fréquemment posées

Comment calculer le volume d’une pyramide si la hauteur et la surface de la base sont connues ?

Si la hauteur ($h$) et la surface de la base ($S$) sont connues, utilisez la formule :

La formule peut-elle être utilisée pour des pyramides irrégulières ?

Oui, à condition que la surface de la base soit calculée avec précision et que la hauteur soit perpendiculaire à la base.

Quelle est la différence entre une pyramide et un prisme ?

Un prisme a deux bases parallèles identiques connectées par des rectangles, tandis qu’une pyramide a une base et des faces triangulaires convergeant en un sommet.

Comment convertir le volume de mètres cubes en litres ?

Multipliez par $1 000$ : $1 \, \text{m}^3 = 1 000 \, \text{L}$.

Pourquoi utilise-t-on le facteur $\frac{1}{3}$ dans la formule du volume ?

Le facteur résulte du calcul différentiel (intégration) ou de la décomposition géométrique : une pyramide a exactement $\frac{1}{3}$ du volume d’un prisme ayant la même base et la même hauteur.

Le volume d’une pyramide est de 12, la hauteur est de 4, la base est un carré. Trouvez la surface de la base.