Calculateur de volume de prisme régulier

Qu’est-ce qu’un prisme régulier?

Un prisme régulier est une figure géométrique tridimensionnelle avec deux bases polygonales congruentes connectées par des faces rectangulaires. Le terme “régulier” indique que la base polygonale est un polygone régulier, ce qui signifie que tous ses côtés et ses angles intérieurs sont égaux. Des exemples courants incluent les prismes triangulaires (base : triangle), les prismes pentagonaux (base : pentagone) et les prismes hexagonaux (base : hexagone). Le volume d’un prisme dépend de l’aire de sa base et de sa hauteur (la distance perpendiculaire entre les deux bases).

Formule pour calculer le volume d’un prisme régulier

Le volume $V$ d’un prisme régulier est calculé en utilisant la formule :

Où :

• $S$ = Aire du polygone de base
• $l$ = Hauteur (ou longueur) du prisme (distance entre les bases)

Pour un polygone régulier avec $n$ côtés, chacun de longueur $s$, l’aire $S$ est donnée par :

Ici, $a$ est l’apothem (la distance du centre du polygone au milieu de l’un de ses côtés). L’apothème peut être calculé si la longueur du côté $s$ est connue :

En substituant cela dans la formule de l’aire :

Ainsi, la formule finale du volume devient :

Exemples de calculs de volume

Exemple 1 : Prisme pentagonal

Problème : Un prisme pentagonal régulier a une longueur de côté $s = 6 \, \text{cm}$ et une hauteur $l = 15 \, \text{cm}$. Calculez son volume.
Solution :

1. Calculez l’apothème $a$ : $$a = \frac{6}{2 \times \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)} \approx \frac{6}{2 \times 0,7265} \approx 4,13 \, \text{cm}$$
2. Calculez l’aire de la base $S$ : $$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times 4,13 \approx 61,95 \, \text{cm}^2$$
3. Calculez le volume $V$ : $$V = 61,95 \times 15 \approx 929,3 \, \text{cm}^3$$

Exemple 2 : Prisme hexagonal

Problème : Un prisme hexagonal régulier a une longueur de côté $s = 10 \, \text{cm}$, un apothème $a = 8,66 \, \text{cm}$ et une hauteur $l = 20 \, \text{cm}$. Trouvez son volume.
Solution :

1. Calculez l’aire de la base $S$ : $$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times 8,66 = 259,8 \, \text{cm}^2$$
2. Calculez le volume $V$ : $$V = 259,8 \times 20 = 5\,196 \, \text{cm}^3$$

Exemple 3 : Prisme triangulaire

Problème : Un prisme triangulaire régulier a une longueur de côté $s = 4 \, \text{m}$ et une hauteur $l = 10 \, \text{m}$. Déterminez son volume.
Solution :

1. Calculez l’apothème $a$ : $$a = \frac{4}{2 \times \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)} \approx \frac{4}{2 \times 1,732} \approx 1,1547 \, \text{m}$$
2. Calculez l’aire de la base $S$ : $$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times 1,1547 \approx 6,9282 \, \text{m}^2$$
3. Calculez le volume $V$ : $$V = 6,9282 \times 10 \approx 69,3 \, \text{m}^3$$

Contexte historique

L’étude des prismes remonte à la Grèce antique, où des mathématiciens comme Euclide ont exploré leurs propriétés dans Les Éléments. Les prismes réguliers ont également été utilisés en architecture ; par exemple, des colonnes hexagonales ont été employées dans les structures romaines et gothiques pour leur efficacité structurelle. Le terme “prisme” lui-même provient du mot grec prisma, signifiant “quelque chose de scié”.

Questions fréquemment posées

Comment calculer le volume d’un prisme si l’apothème est inconnu ?

Utilisez la formule impliquant la longueur du côté $s$ :

Pour un prisme hexagonal ($n = 6$) avec $s = 5 \, \text{cm}$ et $l = 12 \, \text{cm}$ :

Comment le nombre de côtés $n$ affecte-t-il le volume ?

À mesure que $n$ augmente, le polygone de base se rapproche d’un cercle, et le prisme ressemble à un cylindre. Par exemple, le volume d’un prisme à 100 côtés serait proche de $\pi r^2 l$, où $r$ est le rayon du cercle circonscrit. Pour calculer le volume d’un cylindre, utilisez notre calculatrice de volume de cylindre.

Quel est le volume d’un prisme octogonal avec une longueur de côté de 5 cm et une hauteur de 12 cm ?

En utilisant $n = 8$ :

Comment convertir un volume de mètres cubes en litres ?

1 mètre cube ($\text{m}^3$) = 1,000 litres. Par exemple, $2,5 \, \text{m}^3 = 2\,500 \, \text{L}$. Pour convertir différentes unités de volume, utilisez notre convertisseur de volume.