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Calculateur de volume de pyramide régulière

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Qu’est-ce qu’une pyramide régulière ?

Une pyramide régulière est une forme géométrique tridimensionnelle avec un polygone régulier comme base et des faces triangulaires qui convergent en un point unique appelé sommet. Le sommet est perpendiculaire au centre de la base. Des exemples incluent les pyramides égyptiennes (bases carrées) et les ziggourats anciennes (bases rectangulaires).

Caractéristiques clés :

  • Base régulière: Tous les côtés et angles du polygone de base sont égaux.
  • Alignement du sommet: Le sommet est directement au-dessus du centroïde de la base.
  • Symétrie: Les faces triangulaires (faces latérales) sont congruentes.

Formule pour le volume d’une pyramide régulière

Le volume VV d’une pyramide régulière est calculé avec :

V=13×Aire de la base×HauteurV = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}

Ici, la hauteur est la distance perpendiculaire du sommet à la base.

Formules de l’aire de la base pour des polygones réguliers

  1. Triangle (3 côtés) :
Aire de la base=34×Longueur du coˆteˊ2\text{Aire de la base} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{Longueur du côté}^2
  1. Carré (4 côtés) :
Aire de la base=Longueur du coˆteˊ2\text{Aire de la base} = \text{Longueur du côté}^2
  1. Pentagone (5 côtés) :
Aire de la base=52×Longueur du coˆteˊ×Apotheˋme\text{Aire de la base} = \frac{5}{2} \times \text{Longueur du côté} \times \text{Apothème}
  1. Hexagone (6 côtés) :
Aire de la base=332×Longueur du coˆteˊ2\text{Aire de la base} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \text{Longueur du côté}^2

L’apothème (distance du centre du polygone à un côté) pour un polygone régulier avec nn côtés est :

Apotheˋme=Longueur du coˆteˊ2tan⁡(πn)\text{Apothème} = \frac{\text{Longueur du côté}}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}

Exemples de calculs de volume

Exemple 1 : Pyramide à base carrée

Problème : Une pyramide a une base carrée avec un côté de 8 cm et une hauteur de 12 cm. Trouvez son volume.
Solution :

  1. Aire de la base :
82=64 cm28^2 = 64 \, \text{cm}^2
  1. Volume :
V=13×64×12=256 cm3V = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 = 256 \, \text{cm}^3

Exemple 2 : Pyramide à base hexagonale

Problème : Une pyramide hexagonale a une longueur de côté de 6 cm et une hauteur de 15 cm. Calculez son volume.
Solution :

  1. Aire de la base :
332×62=332×36=93,53 cm2\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 36 = 93{,}53 \, \text{cm}^2
  1. Volume :
V=13×93,53×15=467,64 cm3V = \frac{1}{3} \times 93{,}53 \times 15 = 467{,}64 \, \text{cm}^3

Exemple 3 : Pyramide à base pentagonale

Problème : Une pyramide pentagonale a une longueur de côté de 4 cm, un apothème de 2,75 cm et une hauteur de 10 cm. Déterminez son volume.
Solution :

  1. Aire de la base :
52×4×2,75=27,5 cm2\frac{5}{2} \times 4 \times 2{,}75 = 27{,}5 \, \text{cm}^2
  1. Volume :
V=13×27,5×10=91,67 cm3V = \frac{1}{3} \times 27{,}5 \times 10 = 91{,}67 \, \text{cm}^3

Notes

  • Hauteur vs. hauteur inclinée: La hauteur est perpendiculaire à la base, tandis que la hauteur inclinée est la distance diagonale le long d’une face latérale.
  • Cohérence des unités: Assurez-vous que toutes les mesures (longueur du côté, hauteur) sont dans la même unité.
  • Aperçu historique: La formule V=13×Aire de la base×HauteurV = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur} a été prouvée pour la première fois par Euclide dans Éléments (Livre XII).

Questions fréquemment posées

Comment calculer le volume si seule la hauteur inclinée est connue ?

Problème : Une pyramide carrée a un bord de base de 10 cm et une hauteur inclinée de 13 cm.
Solution :

  1. Trouvez la hauteur verticale avec le théorème de Pythagore :
h=Hauteur inclineˊe2−(Bord de la base2)2=132−52=12 cmh = \sqrt{\text{Hauteur inclinée}^2 - \left(\frac{\text{Bord de la base}}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \, \text{cm}
  1. Volume :
V=13×102×12=400 cm3V = \frac{1}{3} \times 10^2 \times 12 = 400 \, \text{cm}^3

Pourquoi y a-t-il un 13\frac{1}{3} dans la formule du volume ?

Le facteur 13\frac{1}{3} résulte du fait que le volume d’une pyramide est exactement un tiers de celui d’un prisme ayant la même base et hauteur. Cela peut être démontré en divisant un cube en trois pyramides congruentes.

Quel est le volume d’une pyramide hexagonale avec une longueur de côté de 5 cm et une hauteur de 9 cm ?

  1. Aire de la base :
332×52=64,95 cm2\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 5^2 = 64{,}95 \, \text{cm}^2
  1. Volume :
V=13×64,95×9=194,86 cm3V = \frac{1}{3} \times 64{,}95 \times 9 = 194{,}86 \, \text{cm}^3

Comment le changement du nombre de côtés de la base affecte-t-il le volume ?

Augmenter le nombre de côtés (par exemple, de carré à hexagone) agrandit l’aire de la base pour une longueur de côté fixe, augmentant par conséquent le volume. Par exemple, un carré (côté de 4 cm) a une aire de base de 16 cm², tandis qu’un hexagone (côté de 4 cm) a une aire de base de 41,57 cm241{,}57 \, \text{cm}^2.

Trouver le volume d’une pyramide triangulaire régulière si le côté de la base est de 3 cm et la hauteur de 4 cm.

Pour trouver le volume d’une pyramide triangulaire régulière avec un côté de base de 3 cm et une hauteur de 4 cm, utilisez la formule de volume de la pyramide et substituez les valeurs connues.

Trouvez l’aire de la base. La base est un triangle régulier avec une longueur de côté de 3 cm. L’aire d’un triangle régulier est calculée avec :

Areabase=a234Area_{\text{base}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}

Substituez la valeur de a=3a = 3 et trouvez l’aire :

Areabase=3234=934 cm2Area_{\text{base}} = \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2

Maintenant, substituez l’aire de la base et la hauteur dans la formule de volume :

V=13×934×4=33 cm3V = \frac{1}{3} \times \frac{9 \sqrt{3}}{4} \times 4 = 3 \sqrt{3} \, \text{cm}^3

Le volume d’une pyramide triangulaire régulière est de 33 cm3{3 \sqrt{3}} \, \text{cm}^3.

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