Calculateur d'aire d'un triangle rectangle

Qu’est-ce que l’aire d’un triangle rectangle ?

L’aire d’un triangle rectangle est l’espace occupé par le triangle sur un plan. Un triangle rectangle a un angle de 90 degrés, et les deux côtés, appelés côtés adjacents ou cathètes, sont adjacents à cet angle. Le calcul de l’aire est important en géométrie, science, ingénierie et dans de nombreux autres domaines.

Comment calculer l’aire étant donné les longueurs des côtés

La formule pour trouver l’aire d’un triangle rectangle lorsque les longueurs des côtés $a$ et $b$ sont connues est la suivante :

$$S = \frac{1}{2} \times a \times b$$

Cette formule implique que l’aire est la moitié du produit des longueurs des deux côtés. Si vous imaginez un carré avec un côté égal à l’un des côtés du triangle, un tel carré serait deux fois plus grand que le triangle.

Comment calculer l’aire étant donné un côté et un angle

Si seul un côté et un angle sont connus, les fonctions trigonométriques sont requises :

• Si le côté $a$ et l’angle $\beta$ sont connus, l’aire peut être trouvée avec la formule suivante :

$$S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times a \times (a \times \tg(\beta)) = \frac{1}{2} \times a^2 \times \tg(\beta)$$

• Si le côté $b$ et l’angle $\alpha$ sont connus, l’aire peut être calculée comme suit :

$$S = \frac{1}{2} \times b^2 \times \tg(\alpha)$$

Le tangent d’un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent :

$$\tg(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$$

Dans ce cas, l’angle $\alpha$ est opposé au côté $a$, et l’angle $\beta$ est opposé au côté $b$.

Formules

• Lorsque les côtés sont connus :

  $$A = \frac{1}{2} \times a \times b$$

• Avec le côté $a$ connu et l’angle $\beta$ :

  $$A = \frac{1}{2} \times a^2 \times \tg(\beta)$$

• Avec le côté $b$ connu et l’angle $\alpha$ :

  $$A = \frac{1}{2} \times b^2 \times \tg(\alpha)$$

Exemples

Exemple 1 : Côtés connus

Supposons que les côtés d’un triangle sont $3$ et $4$. Ensuite, en utilisant la formule, l’aire peut être trouvée comme suit :

$$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$$

Exemple 2 : Côté $a$ connu et angle $\beta$

Soit $a = 5$, $\beta = 45^\circ$. L’aire peut être calculée comme suit :

$$S = \frac{1}{2} \times 5^2 \times \tg(45^\circ) = \frac{1}{2} \times 25 \times 1 = 12.5$$

Exemple 3 : Côté $b$ connu et angle $\alpha$

Soit $b = 7$, $\alpha = 30^\circ$. L’aire est calculée comme suit :

$$S = \frac{1}{2} \times 7^2 \times \tg(30^\circ) = \frac{1}{2} \times 49 \times 0.577 \approx 14.14$$

Exemple 4 : Calcul de l’aire de la base d’une structure historique

Imaginez devoir calculer l’aire de la base d’une pyramide, en supposant qu’elle ait une forme de triangle rectangle. Par exemple, si un côté de la base, $a$, mesure 150 mètres, et l’autre côté, $b$, mesure 200 mètres, l’aire de la base serait :

$$S = \frac{1}{2} \times 150 \times 200 = 15,000 \,\text{mètres carrés}$$

Notes

• L’angle $\alpha$ ou $\beta$ doit être donné en degrés lors de l’utilisation du tangente.
• Les calculs trigonométriques peuvent être difficiles sans calculatrice.
• Si vous devez trouver le périmètre d’un triangle rectangle, vous pouvez utiliser notre calculatrice de triangle rectangle.

Foire aux questions

Comment trouver l’aire d’un triangle rectangle si seule l’hypothénuse est connue ?

Pour calculer l’aire, vous devez connaître la longueur d’au moins un côté ou l’angle adjacent à l’hypoténuse.

Puis-je utiliser la même formule pour les triangles non rectangles ?

Les formules ci-dessus sont spécifiques aux triangles rectangles. D’autres types de triangles utilisent différentes approches, comme la formule de Heron. Pour calculer l’aire d’autres triangles, utilisez notre calculatrice d’aire de triangle.

Pourquoi les calculs d’aire de triangle sont-ils importants ?

Aire est importante en architecture, construction, cartographie et physique. Connaître l’aire d’un objet aide à planifier l’utilisation correcte des matériaux et des ressources.

Quel rôle jouent les angles et les côtés dans la détermination de l’aire ?

La longueur des côtés et la magnitude des angles déterminent l’échelle et la forme possibles du triangle, qui influencent directement son aire.

Comment l’arrondi affecte-t-il la précision des résultats lors de l’utilisation de valeurs trigonométriques ?

L’arrondi peut introduire de petites erreurs dans les calculs, donc pour l’exactitude, il est essentiel de considérer toutes les décimales dans les calculs intermédiaires.

Quelle est l’aire d’un triangle rectangle avec des côtés 3 et 4 ?

L’aire d’un triangle rectangle avec des côtés de 3 et 4 unités de longueur est :

$$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \,\text{unités carrées}$$