Calculateur de côtés et d'angles de triangle rectangle

Qu’est-ce qu’un triangle rectangle ?

Un triangle rectangle est une figure géométrique avec un angle mesurant exactement $90^\circ$. Le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse, et les deux autres côtés sont connus sous le nom de côtés adjacents (adjacent et opposé). Les triangles rectangles sont fondamentaux en trigonométrie et géométrie en raison de leurs propriétés uniques, telles que le théorème de Pythagore et les ratios trigonométriques.

Propriétés clés :

• Un angle est de $90^\circ$.
• L’hypoténuse est le côté le plus long.
• La somme des deux angles non droits est de $90^\circ$.
• Les côtés et les angles suivent le théorème de Pythagore et les relations trigonométriques.

Formules clés pour les triangles rectangles

Théorème de Pythagore

Pour un triangle rectangle avec les côtés $a$ et $b$ et l’hypoténuse $c$ : $a^2 + b^2 = c^2$

Ratios trigonométriques

• Sinus : $\sin(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$
• Cosinus : $\cos(\theta) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$
• Tangente : $\tan(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$

Calcul de l’angle

Pour trouver un angle lorsque deux côtés sont connus : $\theta = \arctan\left(\frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}\right)$ $\theta = \arcsin\left(\frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}\right)$ $\theta = \arccos\left(\frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}\right)$

Aire d’un triangle rectangle

$\text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$ La base et la hauteur d’un triangle rectangle sont les côtés adjacents.

Exemples étape par étape

Exemple 1 : Trouver l’hypoténuse

Problème : Un triangle rectangle a des côtés mesurant 5 mètres et 12 mètres. Quelle est la longueur de l’hypoténuse ?

Solution :

1. Appliquez le théorème de Pythagore : $c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
2. Résolvez pour $c$ : $c = \sqrt{169} = 13 \text{ mètres}$

Exemple 2 : Calculer un angle

Problème : Un triangle rectangle a un côté opposé de 7 mètres et un côté adjacent de 10 mètres par rapport à l’angle $\theta$. Quelle est la mesure de $\theta$ ?

Solution :

1. Utilisez le ratio tangente : $\tan(\theta) = \frac{7}{10} = 0{,}7$
2. Calculez l’angle en utilisant l’arctangente : $\theta = \arctan(0{,}7) \approx 35^\circ$

Contexte historique

L’étude des triangles rectangles remonte aux civilisations anciennes. Les Babyloniens (1800 av. J.-C.) utilisaient les triplets pythagoriciens pour l’arpentage des terres, tandis que les Égyptiens employaient des cordes nouées pour créer des angles droits pour la construction des pyramides. La preuve formelle du théorème est attribuée à Pythagore de Samos (VIe siècle av. J.-C.), bien que des preuves suggèrent qu’il était connu plus tôt en Inde et à Mésopotamie.

Applications dans la vie réelle

1. Construction : Calcul des pentes de toit ou des angles d’escalier.
2. Navigation : Détermination des distances par triangulation.
3. Physique : Résolution des forces en composants perpendiculaires.
4. Astronomie : Mesurer les distances stellaires via le parallaxe.

Triangles rectangles spéciaux

1. Triangle 45°-45°-90°

• Les côtés sont égaux : $a = b$.
• Hypoténuse : $c = a\sqrt{2}$. Pour les calculs sur un tel triangle, utilisez notre calculatrice pour le triangle 45-45-90.

2. Triangle 30°-60°-90°

• Les côtés suivent le ratio $1 : \sqrt{3} : 2$, où le côté opposé $30^\circ$ est le plus court.
• Le côté opposé $30^\circ$ est le plus court et égal à la moitié de l’hypoténuse. Pour les calculs sur un tel triangle, utilisez notre calculatrice pour le triangle 30-60-90.

Précision des calculs : notes importantes

• La somme des angles doit être $180^\circ$ (par exemple, $90^\circ + 35^\circ + 55^\circ = 180^\circ$).
• Utilisez les mêmes unités pour tous les côtés.
• Vérifiez le mode de la calculatrice (degrés ou radians) lors de l’utilisation de fonctions trigonométriques inverses.

Questions fréquemment posées

Comment calculer l’hypoténuse si les côtés sont de 9 mètres et 12 mètres ?

1. Appliquez le théorème de Pythagore : $c^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
2. Résolvez pour $c$ : $c = \sqrt{225} = 15 \text{ mètres}$

Quel est le plus grand angle d’un triangle rectangle ?

Le plus grand angle est toujours l’angle droit, mesurant $90^\circ$. Les deux autres angles sont aigus (moins de $90^\circ$).

Comment trouver l’aire d’un triangle rectangle avec des côtés de 6 cm et 8 cm ?

1. Utilisez la formule de l’aire : $\text{Aire} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2$

Les côtés d’un triangle rectangle peuvent-ils être égaux ?

Oui. Dans un triangle 45°-45°-90°, les côtés sont égaux et l’hypoténuse est $a\sqrt{2}$.

Trouvez le côté si l’hypoténuse est 30 et que les côtés sont égaux ?

Dans ce cas, les côtés sont égaux $a = b = \frac{c}{\sqrt{2}}$. Faisons le calcul : $a = b = \frac{30}{\sqrt{2}} = 15\sqrt{2}$.

Qu’est-ce que l’hypoténuse d’un triangle rectangle ?

L’hypoténuse d’un triangle rectangle est égale au côté divisé par le sinus de l’opposé ou le cosinus du côté adjacent.