Calculateur de volume de calotte sphérique

Qu’est-ce qu’une calotte sphérique ?

Une calotte sphérique est une figure géométrique tridimensionnelle qui résulte lorsque qu’une sphère est coupée par un plan. La calotte est la plus petite section de la sphère qui reste. Cette forme est souvent visualisée comme la “calotte” sur une sphère, similaire à la façon dont la lentille d’une lentille de contact s’adapte à un œil.

Composants clés

• Rayon de la sphère (r) : La distance du centre de la sphère à sa surface.
• Hauteur de la calotte (h): La distance de la base de la calotte au point le plus élevé sur la calotte.
• Rayon de la base de la calotte (a): Le rayon du cercle qui forme la base de la calotte.

Formule pour le volume d’une calotte sphérique

Le volume $V$ d’une calotte sphérique peut être calculé en utilisant la formule suivante :

Alternativement, le volume peut également être calculé par :

Ces formules sont dérivées de l’intégration de l’élément de volume d’une sphère sur les limites souhaitées. Dans ces équations :

• $r$ est le rayon de la sphère,
• $h$ est la hauteur de la calotte,
• $a$ est le rayon de la base de la calotte.

Dérivation de la formule

La dérivation de la formule du volume de la calotte sphérique implique le calcul intégral, qui nous permet de calculer la somme des tranches circulaires infinitésimales constituant la calotte. En intégrant ces tranches le long de la hauteur de la calotte, le volume est déterminé.

Applications pratiques

1. Ingénierie : Les calottes sphériques peuvent modéliser des dômes, des réservoirs et d’autres éléments structuraux.
2. Astronomie : Utilisé dans l’analyse des corps célestes et de leurs interactions.
3. Fabrication : Utilisé dans la fabrication de lentilles et d’autres surfaces courbes.

Exemples

Illustrons comment utiliser ces formules avec des exemples.

Exemple 1 : Calcul du volume avec le rayon de la sphère et la hauteur de la calotte

Supposons que nous ayons une sphère avec un rayon $r = 10$ cm, et que nous mesurons une calotte avec une hauteur de $h = 3$ cm.

En utilisant la formule :

Exemple 2 : Calcul du volume avec le rayon de la base de la calotte

Pour une calotte où le rayon de la base $a = 8$ cm, et la hauteur de calotte $h = 5$ cm :

Remarques

• Assurez-vous que toutes les mesures sont dans des unités cohérentes avant de calculer.
• Utilisez des valeurs précises pour $\pi$ (comme 3,14159) pour des résultats plus précis.

Questions fréquemment posées

Comment calculer le volume d’une calotte sphérique ?

Utilisez les formules fournies, en fonction du fait que vous disposez de la hauteur de la calotte et du rayon de la sphère ou du rayon de la base de la calotte.

Quelle est la différence entre une sphère et une calotte sphérique ?

Une sphère est une forme tridimensionnelle complète, tandis qu’une calotte sphérique est une portion de la sphère définie en la découpant avec un plan.

Que se passe-t-il si le plan passe par le centre de la sphère ?

La forme résultante ne serait plus une calotte mais un hémisphère si elle est divisée en deux parties égales. Le volume d’un hémisphère peut être calculé à l’aide de la formule : $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ ou utilisez notre calculateur de volume d’hémisphère.

La formule du volume peut-elle être utilisée pour des hémisphères ?

Non, la formule de volume de la calotte sphérique est spécifique aux calottes. Les hémisphères ont leur formule de volume spécifique.

Combien de degrés d’une sphère contient une calotte sphérique ?

L’angle d’une calotte sphérique dépend de sa hauteur et est calculé séparément à l’aide de l’angle central en coordonnées sphériques.