Calculateur de volume de tétraèdre

Qu’est-ce qu’un tétraèdre ?

Un tétraèdre est un polyèdre tridimensionnel avec quatre faces triangulaires, six arêtes et quatre sommets. C’est le plus simple de tous les polyèdres convexes ordinaires. Un tétraèdre régulier a toutes les arêtes de même longueur, et toutes ses faces sont des triangles équilatéraux. À l’inverse, un tétraèdre irrégulier possède des arêtes de longueurs variées et des faces pouvant être des triangles scalènes ou isocèles. Le tétraèdre est l’un des cinq solides de Platon et il est étudié depuis l’Antiquité, avec des références remontant aux mathématiciens grecs anciens comme Euclide.

Formule pour calculer le volume d’un tétraèdre

Volume en utilisant l’aire de la base et la hauteur

Pour tout tétraèdre, si l’aire de la base $S$ et la hauteur $h$ (distance perpendiculaire de la base au sommet opposé) sont connues, le volume est :

Cette formule est analogue au volume d’une pyramide et s’applique universellement à tous les tétraèdres, qu’ils soient réguliers ou irréguliers.

Formule de volume pour un tétraèdre régulier

Pour un tétraèdre régulier avec longueur d’arête $a$, le volume $V$ est calculé à l’aide de : $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$ ou il peut aussi être écrit dans la forme:

Cette formule découle de la relation entre la longueur de l’arête et la hauteur du tétraèdre, en tirant parti de la symétrie géométrique.

Formule de volume pour un tétraèdre irrégulier

Pour un tétraèdre irrégulier défini par les sommets $A, B, C, D$, le volume peut être calculé en utilisant le produit scalaire triple de vecteurs provenant d’un sommet. Si les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$ sont connus, le volume est :

Cette méthode fonctionne pour tout tétraèdre, indépendamment de la symétrie.

Exemples de calculs de volume

Exemple 1 : Tétraèdre régulier

Problème : Calculer le volume d’un tétraèdre régulier avec une longueur d’arête de 5 cm.
Solution :
Substituer $a = 5$ dans la formule :

Exemple 2 : Tétraèdre irrégulier

Problème : Trouver le volume d’un tétraèdre avec des sommets en $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$, $C(0, 3, 0)$ et $D(0, 0, 4)$.
Solution :

1. Définir les vecteurs à partir du sommet $A$ : $$\vec{AB} = (2, 0, 0), \quad \vec{AC} = (0, 3, 0), \quad \vec{AD} = (0, 0, 4)$$
2. Calculer le produit vectoriel $\vec{AC} \times \vec{AD}$ : $$\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (12, 0, 0)$$
3. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})$ : $$(2, 0, 0) \cdot (12, 0, 0) = 2 \times 12 + 0 + 0 = 24$$
4. Calculer le volume : $$V = \frac{1}{6} \times |24| = 4 \, \text{unités}^3$$

Exemple 3 : Volume utilisant l’aire de la base et la hauteur

Problème : Un tétraèdre a une base triangulaire avec une aire de 24 cm². La hauteur de la base au sommet opposé est de 9 cm. Quel est son volume ?
Solution :
En utilisant la formule $V = \frac{1}{3} S h$ :

Remarques

1. Pour les tétraèdres irréguliers, assurez-vous que les vecteurs sont définis à partir du même sommet.
2. Les unités doivent être cohérentes (par exemple, toutes les arêtes en centimètres).
3. La formule de volume du tétraèdre régulier est un cas particulier de la méthode générale du produit scalaire triple.
4. La formule $V = \frac{1}{3} S h$ est particulièrement utile lorsque la forme de la base est connue mais que le tétraèdre n’est pas régulier.
5. Les calculateurs en ligne automatisent ces calculs, réduisant les erreurs manuelles.

Questions fréquemment posées

Comment la longueur de l’arête affecte-t-elle le volume d’un tétraèdre régulier ?

Le volume d’un tétraèdre régulier est proportionnel au cube de la longueur de son arête. Par exemple, doubler la longueur de l’arête fait augmenter le volume de $2^3 = 8$ fois.

Le volume d’un tétraèdre irrégulier peut-il être nul ?

Oui. Si les quatre sommets sont sur le même plan, le produit scalaire triple devient nul, entraînant un volume nul.

Quelle est la différence entre les tétraèdres réguliers et irréguliers ?

Un tétraèdre régulier a toutes ses arêtes égales et des faces triangulaires équilatérales, tandis qu’un tétraèdre irrégulier a des arêtes de longueurs différentes et des faces non équilatérales.

Comment utiliser le produit scalaire triple pour le calcul du volume ?

1. Choisissez un sommet comme origine.
2. Calculez les vecteurs de ce sommet vers les trois autres sommets.
3. Calculez le produit scalaire triple de ces vecteurs.
4. Divisez le résultat absolu par 6 pour obtenir le volume.

Pourquoi le dénominateur est-il $6\sqrt{2}$ dans la formule du tétraèdre régulier ?

Le terme $\sqrt{2}$ provient de la relation pythagoricienne dans la géométrie du tétraèdre, et le dénominateur 6 adapte le résultat pour correspondre au volume unitaire.