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Calculateur de volume d'un tore

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Qu’est-ce qu’un tore ?

Un tore est une forme géométrique tridimensionnelle ressemblant à un beignet ou une chambre à air. Il est formé par la rotation d’un cercle dans l’espace tridimensionnel autour d’un axe coplanaire au cercle mais ne l’intersectant pas. Cette rotation crée une surface de révolution avec un trou au centre. Les termes clés associés à un tore incluent :

  • Rayon majeur (R) : La distance du centre du tube au centre du tore.
  • Rayon mineur (r) : Le rayon de la section transversale circulaire du tube.

Les tores sont étudiés en géométrie, topologie et physique, et apparaissent dans la nature et l’ingénierie, comme dans les réacteurs à fusion magnétique (tokamaks) et les pneus de vélo.

Formule de calcul du volume

Le volume VV d’un tore est calculé à l’aide de la formule dérivée de l’intégration en calcul :

V=2π2Rr2V = 2\pi^2 R r^2

Où :

  • RR : Rayon majeur (distance du centre du tube au centre du tore).
  • rr : Rayon mineur (rayon du tube lui-même).

Cette formule suppose une section transversale parfaitement circulaire et une rotation lisse autour de l’axe.

Exemples

Exemple 1 : Beignet classique

Supposons qu’un beignet ait un rayon majeur R=4 cmR = 4 \, \text{cm} et un rayon mineur r=2 cmr = 2 \, \text{cm}. Son volume est calculé comme suit :

V=2π2×4×22=32π2 cm3≈315,91 cm3V = 2\pi^2 \times 4 \times 2^2 = 32\pi^2 \, \text{cm}^3 \approx 315{,}91 \, \text{cm}^3

Exemple 2 : Joint en caoutchouc industriel

Un joint torique avec R=10 mmR = 10 \, \text{mm} et r=1,5 mmr = 1{,}5 \, \text{mm} :

V=2π2×10×(1,5)2=45π2 mm3≈444,13 mm3V = 2\pi^2 \times 10 \times (1{,}5)^2 = 45\pi^2 \, \text{mm}^3 \approx 444{,}13 \, \text{mm}^3

Exemple 3 : Structure annulaire astronomique

Un tore cosmique hypothétique avec R=1 000 kmR = 1\,000 \, \text{km} et r=20 kmr = 20 \, \text{km} :

V=2π2×1 000×202=800 000π2 km3≈7 895 568 km3V = 2\pi^2 \times 1\,000 \times 20^2 = 800\,000\pi^2 \, \text{km}^3 \approx 7\,895\,568 \, \text{km}^3

Contexte historique

L’étude des tores remonte à la géométrie grecque antique, mais le terme « tore » a été popularisé au XIXe siècle. Carl Friedrich Gauss a exploré ses propriétés en géométrie différentielle, le liant à la courbure et à la topologie. Le tore joue également un rôle en géométrie algébrique, où il est utilisé pour modéliser des formes complexes.

Applications des volumes toroïdaux

  1. Ingénierie : Conception de joints toriques, pneus et aimants supraconducteurs dans les appareils d’IRM.
  2. Architecture : Création de structures toroïdales comme des arènes circulaires.
  3. Physique : Modélisation du confinement magnétique dans les réacteurs à fusion (p. ex., tokamaks).
  4. Biologie : Étude des membranes cellulaires et des capsides virales.

Remarques

  1. Précision : La formule suppose une section transversale parfaitement circulaire. Les tores réels peuvent présenter des déformations.
  2. Unités : Assurez-vous que RR et rr sont dans les mêmes unités avant de calculer.
  3. Erreur courante : Confondre RR (rayon majeur) avec rr (rayon mineur).

Questions fréquemment posées

Comment calculer le volume d’un tore avec R=5 mR = 5 \, \text{m} et r=1 mr = 1 \, \text{m} ?

V=2π2×5×12=10π2 m3≈98,7 m3V = 2\pi^2 \times 5 \times 1^2 = 10\pi^2 \, \text{m}^3 \approx 98{,}7 \, \text{m}^3

Un pneu peut-il être modélisé comme un tore ?

Oui. Par exemple, un pneu de vélo avec R=30 cmR = 30 \, \text{cm} et r=2 cmr = 2 \, \text{cm} :

V=2π2×30×22=240π2 cm3≈2 368,7 cm3V = 2\pi^2 \times 30 \times 2^2 = 240\pi^2 \, \text{cm}^3 \approx 2\,368{,}7 \, \text{cm}^3

Que se passe-t-il avec le volume si le rayon majeur double ?

Le volume quadruple, car V∝RV \propto R. Doubler RR augmente VV d’un facteur 2, mais doubler rr l’augmente d’un facteur 4 (puisque rr est au carré).

Pourquoi les unités cohérentes sont-elles importantes ?

Mélanger des unités (par exemple, RR en mètres et rr en centimètres) conduit à des résultats incorrects. Convertissez d’abord toutes les mesures dans la même unité.

Les mathématiciens anciens ont-ils étudié les tores ?

Oui ! Archimède a exploré les volumes de révolution, et le tore apparaît dans les travaux anciens de géométrie, bien que son analyse formelle soit apparue plus tard.

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