Calculateur de triangle 30 60 90

Qu’est-ce qu’un triangle 30 60 90 ?

Un triangle 30 60 90 est un type spécial de triangle rectangle qui possède des propriétés uniques, le rendant géométriquement significatif en mathématiques et dans les applications pratiques. Ses angles mesurent 30°, 60° et 90°, et ce rapport spécifique d’angles assure des proportions de côtés déterminées. Grâce à ces proportions, le triangle 30 60 90 est souvent utilisé dans l’ingénierie, l’architecture et divers calculs.

Caractéristiques et propriétés d’un triangle 30 60 90

1. Proportions des côtés :

   • Le côté opposé à l’angle de 30° est la moitié de l’hypoténuse.
   • Le côté opposé à l’angle de 60° est $\sqrt{3}$ fois la moitié de l’hypoténuse.

2. Ratios d’unité :

   • Si la longueur de l’hypoténuse est $c$, la longueur du côté opposé à l’angle de 30° sera $\frac{c}{2}$.
   • La longueur du côté opposé à l’angle de 60° est $\frac{c \sqrt{3}}{2}$.

Grâce à ces ratios clairs, tous les problèmes impliquant la recherche des côtés d’un triangle 30 60 90 sont résolus facilement et précisément.

Formules

Examinons maintenant comment ces propriétés peuvent être utilisées pour calculer divers paramètres du triangle.

1. Si la base $a$ (opposée à l’angle de 30°) est connue :

• Hypoténuse $c$ :

  $$c = 2a$$

• Aire $S$ :

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

• Périmètre $P$ :

  $$P = (3 + \sqrt{3})a$$

2. Si l’hypoténuse $c$ est connue :

• Base $a$ :

  $$a = \frac{c}{2}$$

• Autre côté $b$ (opposé à l’angle de 60°) :

  $$b = a \cdot \sqrt{3} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$$

• Aire $S$$ :

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2$$

• Périmètre $P$ :

  $$P = \left(2 + \sqrt{3}\right) \frac{c}{2}$$

3. Si le périmètre $P$ est connu :

• Base $a$ :

  $$a = \frac{P}{3 + \sqrt{3}}$$

• Hypoténuse $c$ :

  $$c = \frac{2P}{3 + \sqrt{3}}$$

• Aire $S$ :

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{P}{3 + \sqrt{3}}\right)^2$$

4. Si l’aire $S$ est connue :

• Base $a$ :

  $$a = \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}$$

• Hypoténuse $c$ :

  $$c = 2a = 2\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{\frac{S}{\sqrt{3}}}$$

• Périmètre $P$ :

  $$P = (3 + \sqrt{3}) \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}$$

Exemples

Exemple 1 : Base connue $a = 4$

1. Hypoténuse $c$ :

   $$c = 2a = 2 \cdot 4 = 8$$

2. Aire $S$ :

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3} \approx 6.93$$

3. Périmètre $P$ :

   $$P = (3 + \sqrt{3})a = (3 + \sqrt{3}) \cdot 4 = (3 + 1.732) \cdot 4 \approx 4 \cdot 4.732 \approx 18.93$$

Exemple 2 : Hypoténuse connue $c = 10$

1. Base $a$ :

   $$a = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

2. Autre côté $b$ :

   $$b = a \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 \approx 8.66$$

3. Aire $S$ :

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 100 = 12.5\sqrt{3} \approx 21.66$$

4. Périmètre $P$ :

   $$P = \left(2 + \sqrt{3}\right) \frac{c}{2} = \left(2 + \sqrt{3}\right) \cdot 5 \approx (2 + 1.732) \cdot 5 \approx 3.732 \cdot 5 \approx 18.66$$

Exemple 3 : Périmètre connu $P = 30$

1. Base $a$ :

   $$a = \frac{P}{3 + \sqrt{3}} = \frac{30}{3 + 1.732} \approx \frac{30}{4.732} \approx 6.34$$

2. Hypoténuse $c$ :

   $$c = \frac{2P}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 30}{3 + 1.732} \approx \frac{60}{4.732} \approx 12.66$$

3. Aire $S$ :

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{30}{3 + \sqrt{3}}\right)^2 \approx \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 40.12 \approx 17.32$$

Exemple 4: Aire connue $S = 10$

1. Base $a$ :

   $$a = \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{40}{\sqrt{3}}} \approx \sqrt{23.09} \approx 4.8$$

2. Hypoténuse $c$ :

   $$c = 2a \approx 2 \cdot 4.8 \approx 9.6$$

3. Périmètre $P$ :

   $$P = (3 + \sqrt{3}) a = (3 + 1.732) \cdot 4.8 \approx 4.732 \cdot 4.8 \approx 22.69$$

Questions fréquemment posées

Comment trouver la base si l’hypoténuse est connue ?

Si l’hypoténuse $c$ est connue, la base opposée à l’angle de 30° $a$ est $\frac{c}{2}$, et le côté opposé à l’angle de 60° $b$ est $\frac{c \sqrt{3}}{2}$.

Ce triangle peut-il être utilisé en architecture et dans d’autres domaines ?

Oui, il est souvent utilisé en architecture et en conception pour sa stabilité et sa simplicité dans les calculs. Le triangle 30 60 90 est également utilisé dans différents types de mises en page, de constructions et même dans la création de figures tridimensionnelles.

Quels sont les avantages d’utiliser ce type de triangle ?

Il permet des calculs faciles dans la conception structurelle, garantissant la précision des résultats.

Comment calculer des valeurs similaires mais pour un triangle 45 45 90 ?

Pour des calculs similaires avec un autre type de triangle rectangle - 45 45 90, vous pouvez utiliser ce calculateur.