45 45 90 calculatrice de triangle

Qu’est-ce qu’un triangle de 45 45 90 ?

Un triangle de 45 45 90, également appelé triangle isocèle droit, possède des propriétés uniques qui en font un intérêt particulier en géométrie. Il s’agit d’un type de triangle spécial où les angles mesurent 45°, 45° et 90°. Un tel triangle est symétrique, d’où la longueur de ses deux côtés est égale.

Caractéristiques

Cette figure géométrique est attrayante en raison de sa structure simple mais élégante. Les principales caractéristiques incluent :

• Égalité des côtés : Dans un triangle de 45 45 90, les côtés sont égaux, simplifiant le processus d’étude et de calcul de ses dimensions.

• Rapports des côtés : La longueur de l’hypoténuse est égale à la longueur d’un côté multipliée par la racine carrée de deux ($c = a\sqrt{2}$, où $a$ est la longueur d’un côté, et $c$ est la longueur de l’hypoténuse).

• Angle droit : L’hypoténuse fait toujours face à l’angle de 90°, important pour les calculs utilisant la trigonométrie.

Propriétés d’un triangle de 45 45 90

• Symétrie : En raison de l’égalité des angles et des côtés, ce triangle est symétrique, ce qui simplifie son analyse. Le triangle est symétrique par rapport à la bissectrice de l’angle de 90°, permettant l’utilisation des propriétés de la réflexion en miroir.

• Fonctions trigonométriques : Le sinus et le cosinus des angles de 45° sont tous deux $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (ou environ 0,7071).

• Aire et périmètre : L’aire et le périmètre sont également facilement calculés en raison des ratios et des formules simples.

Formules

Formules avec un côté connu

Si un côté $a$ est connu, nous pouvons trouver l’hypoténuse, l’aire et le périmètre en utilisant :

1. Hypoténuse: $c = a\sqrt{2}$
2. Aire: $\text{S} = \frac{a^2}{2}$
3. Périmètre: $\text{P} = 2a + a\sqrt{2}$

Formules avec une hypoténuse connue

Si l’hypoténuse $c$ est connue, nous pouvons trouver le côté, l’aire et le périmètre en utilisant :

1. Côté : $a = \frac{c}{\sqrt{2}}$
2. Aire: $\text{S} = \frac{c^2}{4}$
3. Périmètre: $\text{P} = 2 \left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right) + c = c\left(1 + \frac{2}{\sqrt{2}}\right) = c(1 + \sqrt{2})$

Formules avec une aire connue

Si l’aire $S$ est connue, le côté, l’hypoténuse et le périmètre peuvent être trouvés en utilisant :

1. Côté : $a = \sqrt{2 \times \text{S}}$
2. Hypoténuse: $c = \sqrt{4 \times \text{S}}$
3. Périmètre: $\text{P} = 2a + c = 2\sqrt{2} \times \text{S} + \sqrt{4 \times \text{S}}$

Formules avec un périmètre connu

Si le périmètre $P$ est connu, le côté, l’hypoténuse et l’aire peuvent être trouvés en utilisant :

1. Côté : $a = \frac{\text{P}}{2 + \sqrt{2}}$
2. Hypoténuse: $c = \sqrt{2} \times a$
3. Aire: $\text{S} = \frac{a^2}{2}$

Exemples de calcul

Exemple 1 : Côté connu

Supposons qu’un côté du triangle soit de 5 cm. Trouvez l’hypoténuse, l’aire et le périmètre :

1. Hypoténuse: $c = 5\sqrt{2} \approx 7,07$ cm
2. Aire: $\text{S} = \frac{5^2}{2} = 12,5$ cm²
3. Périmètre: $\text{P} = 2 \times 5 + 5\sqrt{2} \approx 17,07$ cm

Exemple 2 : Hypoténuse connue

Si l’hypoténuse du triangle est de 10 cm, trouvez le côté, l’aire et le périmètre :

1. Côté : $a = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx 7,07$ cm
2. Aire: $\text{S} = \frac{10^2}{4} = 25$ cm²
3. Périmètre: $\text{P} = 10 + 2 \times 7,07 \approx 24,14$ cm

Exemple 3 : Aire connue

Supposons que l’aire d’un triangle de 45 45 90 soit de 18 cm². Trouvez la longueur du côté, l’hypoténuse et le périmètre :

1. Côté : $a = \sqrt{2 \times 18} = \sqrt{36} = 6$ cm
2. Hypoténuse: $c = 6\sqrt{2} \approx 8,49$ cm
3. Périmètre: $\text{P} = 2 \times 6 + 6\sqrt{2} \approx 20,49$ cm

Exemple 4 : Périmètre connu

Supposons que le périmètre d’un triangle de 45 45 90 soit de 24 cm. Trouvez les longueurs du côté, de l’hypoténuse et l’aire :

1. Côté : $a = \frac{24}{2 + \sqrt{2}} \approx 7,03$ cm
2. Hypoténuse: $c = 7,03 \cdot \sqrt{2} \approx 9,94$ cm
3. Aire: $\text{S} = \frac{7,03^2}{2} \approx 24,71$ cm²

Remarques

• Le triangle de 45 45 90 est un élément fondamental en géométrie et trigonométrie, souvent utilisé dans la résolution de problèmes et la construction de modèles.
• En raison de ses relations et proportions simples, ce triangle est fréquemment vu dans l’architecture et le design, ainsi que dans des formes et structures naturelles.

Questions fréquemment posées

Comment trouver un côté si l’hypoténuse est connue ?

Si l’hypoténuse $c$ est connue, le côté $a$ peut être trouvé en utilisant la formule : $a = \frac{c}{\sqrt{2}}$.

Pourquoi l’hypoténuse est-elle égale à $a\sqrt{2}$ ?

L’hypoténuse est égale à $a\sqrt{2}$ en raison de l’application du théorème de Pythagore et de l’égalité des côtés. Le théorème stipule : $c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, donc $c = a\sqrt{2}$.

Comment trouver l’aire du triangle si un côté est connu ?

Si un côté $a$ est connu, l’aire peut être trouvée en utilisant la formule : $\text{S} = \frac{a^2}{2}$.

Existe-t-il un triangle avec des angles différents de 45 45 90, ayant les mêmes propriétés ?

Non, seul le triangle de 45 45 90 possède de telles propriétés uniques d’égalité des côtés et de relations simples entre l’hypoténuse et les côtés.

Peut-on utiliser le triangle de 45 45 90 dans des applications pratiques ?

Oui, en raison de sa symétrie et de ses calculs faciles, le triangle de 45 45 90 est couramment utilisé dans la construction, les projets de design et diverses tâches d’ingénierie.