Calculateur des angles d'un triangle

Qu’est-ce que les angles d’un triangle ?

Les angles d’un triangle sont les angles formés par deux côtés d’un triangle. Chaque triangle a trois angles, et la somme de ces angles est toujours égale à 180 degrés. Les angles peuvent être notés comme α (alpha), β (bêta) et γ (gamma).

Le calculateur d’angles de triangle est un outil en ligne qui permet de calculer les angles d’un triangle sur la base des informations connues sur d’autres angles et côtés. Les triangles sont une forme géométrique fondamentale, et la compréhension de leurs angles et côtés est importante tant en mathématiques théoriques que dans des applications pratiques comme l’architecture et la conception d’ingénierie.

Propriétés des angles de triangle

1. Somme des angles : Comme mentionné précédemment, la somme des trois angles d’un triangle quelconque est toujours de 180 degrés.
2. En fonction des angles, un triangle peut être :
   • Aigu, si tous les angles sont inférieurs à 90 degrés.
   • Droit, si l’un des angles est de 90 degrés.
   • Obtus, si l’un des angles est supérieur à 90 degrés.

Formules

Le calcul des angles d’un triangle dépend des données connues. Si deux angles sont connus, la règle générale de la somme de tous les triangles est utilisée ; quand les longueurs de tous les côtés sont connues, le théorème du cosinus doit être utilisé, et si deux côtés et l’angle entre eux sont connus - le théorème du sinus. Détaillons chacune des options de calcul :

Somme de tous les angles

Un triangle a une propriété importante : la somme de ses angles intérieurs est toujours de 180 degrés. Cette propriété fondamentale découle de la géométrie euclidienne et est à la base de nombreux autres calculs géométriques.

Lorsque deux angles sont initialement connus, le troisième angle peut toujours être calculé à partir de l’équation :

$$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$$

Cette règle simplifie la résolution de nombreuses tâches liées aux triangles et représente une propriété de base qui peut être utilisée pour trouver rapidement des angles inconnus.

Théorème du cosinus

Le théorème du cosinus permet de calculer des angles si les longueurs de tous les trois côtés d’un triangle sont connues. Il stipule que le carré de la longueur de n’importe quel côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés moins deux fois le produit des longueurs de ces côtés multiplié par le cosinus de l’angle entre eux. Les formules pour calculer les angles à l’aide du théorème du cosinus :

$$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$ $$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$ $$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Après avoir trouvé le cosinus d’un angle, vous pouvez utiliser la fonction arccos pour trouver l’angle lui-même.

Théorème du sinus

Pour calculer des angles avec deux côtés connus et l’angle entre eux, vous pouvez utiliser le théorème du sinus. Il stipule que le rapport de la longueur d’un côté au sinus de l’angle opposé est le même pour les trois côtés du triangle :

$$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$$

Exemples

Exemple 1: Calcul d’un angle avec deux angles connus

Supposons que nous ayons un triangle où $\alpha = 50^\circ$ et $\beta = 60^\circ$. Alors l’angle $\gamma$:

$$\gamma = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$$

Exemple 2: Calcul d’un angle avec trois côtés

Considérons un triangle avec des côtés $a = 7$, $b = 10$, $c = 5$. Calculons l’angle α:

$$\cos(\alpha) = \frac{10^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{100 + 25 - 49}{100} = \frac{76}{100} = 0.76$$

Maintenant trouvez l’angle α:

$$\alpha = \arccos(0.76) \approx 40.54^\circ$$

Exemple 3: Calcul des angles avec deux côtés et l’angle entre eux

Supposons que des côtés $a = 6$, $b = 8$, et l’angle entre eux $\alpha = 45^\circ$ soient connus. Ensuite, pour trouver l’angle β:

$$\frac{6}{\sin(45^\circ)} = \frac{8}{\sin(\beta)}$$

Résoudre pour $\sin(\beta)$ :

$$\sin(\beta) = \frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{6} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Trouvez l’angle β :

$$\beta = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 73.74^\circ$$

Remarques

1. Lorsque vous utilisez arccos et arcsin, assurez-vous que les résultats se situent dans la plage admissible des angles (0-180 degrés).
2. Dans les cas où un triangle ne peut pas être formé avec les paramètres donnés, les résultats peuvent ne pas correspondre aux valeurs réelles des angles.
3. Assurez-vous que les données d’entrée sont correctes et admissibles pour la construction d’un triangle, car des données incorrectes entraîneront des erreurs de calcul.

Questions fréquemment posées

Comment trouver le troisième angle d’un triangle si deux angles sont donnés ?

Si deux angles $\alpha$ et $\beta$ sont connus, le troisième angle $\gamma$ peut être trouvé par la formule :

$$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$$

Comment sont calculés les angles si les trois côtés d’un triangle sont connus ?

Pour trouver des angles lorsque trois côtés sont connus, on utilise le théorème du cosinus. En utilisant la formule :

$$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

et arccos pour trouver l’angle α.

Que faire si le calcul de l’angle est impossible ?

Si le calcul est impossible (par exemple, les côtés violent l’inégalité du triangle), vérifiez à nouveau les données saisies. Il est possible que de tels paramètres ne puissent pas former un triangle.

Triangle $abc$, comment trouver l’angle $\angle ac$ ?

Si les côtés du triangle sont $a, b$, et $c$, pour trouver l’angle $\angle ac$, appliquez les calculs suivants :

Utilisez le théorème du cosinus pour calculer l’angle $\gamma$ :

$$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Après avoir calculé $\cos(\gamma)$, utilisez arccos pour trouver l’angle lui-même $\gamma$ :

$$\gamma = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

Ce calculateur peut-il être utilisé pour les triangles rectangles ?

Oui, le calculateur convient également pour les triangles rectangles. Pour une hypotenuse et une jambe connues, vous pouvez trouver l’un des angles en utilisant les fonctions trigonométriques.

Dans un triangle, l’angle est de 90 degrés, comment trouver les autres angles ?

Si un angle d’un triangle rectangle est de 90 degrés, en plus de ce calculateur, vous pouvez également utiliser un calculateur d’angles de triangle rectangle.