Calculateur de volume de pyramide triangulaire

Qu’est-ce qu’une pyramide triangulaire ?

Une pyramide triangulaire, également connue sous le nom de tétraèdre, est une figure géométrique tridimensionnelle avec une base triangulaire et trois faces triangulaires convergeant en un seul point de sommet, ne se trouvant pas sur le plan de la base. La pyramide triangulaire est une sorte de polyèdre, comprenant spécifiquement quatre faces triangulaires, six arêtes et quatre sommets.

Formule pour le volume de la pyramide triangulaire

Le volume $V$ d’une pyramide triangulaire peut être trouvé en utilisant différentes méthodes selon les paramètres connus de la pyramide :

1. Volume basé sur l’aire de la base et la hauteur

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{base}} \times H$ Où :

• $S_{\text{base}}$ est l’aire de la base triangulaire
• $H$ est la hauteur de la pyramide de la base au sommet

2. Volume avec trois côtés de la base connus

Lorsque les trois côtés $a$, $b$ et $c$ de la base triangulaire sont connus, et $H$, la hauteur de la pyramide, est fournie, nous calculons l’aire de la base en utilisant la formule de Héron :

1. Calculer le semi-périmètre $s$ : $s = \frac{a + b + c}{2}$
2. Utiliser la formule de Héron pour l’aire de la base $S_{\text{base}}$ : $S_{\text{base}} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
3. Substituer $S_{\text{base}}$ dans la formule du volume : $V = \frac{1}{3} \times \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \times H$

3. Volume avec deux côtés et l’angle inclus

Lorsque deux côtés $a$ et $b$ de la base et l’angle inclus $\alpha$ sont connus : $S_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\alpha)$ Puis utilisez l’aire dans la formule du volume.

4. Volume avec un côté et deux angles adjacents

Lorsque le côté $b$ de la base et ses deux angles adjacents, $\alpha$ et $\beta$, sont connus, vous pouvez utiliser la règle du sinus pour trouver l’aire de la base : $S_{\text{base}} = \frac{b^2 \times \sin(\alpha) \times \sin(\beta)}{2 \times \sin(\alpha + \beta)}$ Utilisez ce $S_{\text{base}}$ dans la formule du volume.

5. Volume avec hauteur de base connue et côté

Si la hauteur de la base $h_{\text{base}}$ et le côté $b$ de la base triangulaire sont donnés : $S_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times b \times h_{\text{base}}$ Incorporez dans la même équation de volume.

Comprendre la pyramide triangulaire régulière et irrégulière

Pyramide triangulaire régulière (tétraèdre)

Un tétraèdre régulier est une pyramide triangulaire où toutes les arêtes sont égales, et toutes les faces sont des triangles réguliers. Si la longueur de l’arête est $a$, le volume est calculé en utilisant la formule : $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$

Note : Dans certaines sources, le terme “pyramide triangulaire régulière” fait référence à une pyramide avec un triangle régulier à la base et des arêtes latérales égales, mais pas nécessairement avec des arêtes de base et des arêtes latérales égales. Dans ce cas, la formule du volume dépendra de la hauteur de la pyramide et de l’aire de la base.

Pyramide triangulaire irrégulière (ou incorrecte)

Une pyramide triangulaire irrégulière a des côtés de différentes longueurs et n’exhibe pas d’uniformité dans les angles ou les mesures des arêtes. Le calcul du volume repose sur des mesures connues telles que différentes longueurs de côtés et hauteurs correspondantes.

Si les coordonnées des sommets d’une pyramide triangulaire sont connues

Si les coordonnées des sommets d’une pyramide triangulaire sont connues, vous pouvez utiliser une méthode alternative en utilisant le calculateur de volume de tétraèdre. En déterminant les coordonnées des sommets dans l’espace tridimensionnel, il devient possible de calculer en utilisant les mathématiques vectorielles. Cet outil est utile lorsque la pyramide ne correspond pas aux mesures claires de la hauteur et de l’aire de la base.

Exemples de calcul de volume

Exemple 1 : Aire de la base et hauteur connue

Calculons le volume pour une aire de base triangulaire de $6 \, \text{cm}^2$ et une hauteur de pyramide de $9 \, \text{cm}$. $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 9 = 18 \, \text{cm}^3$

Exemple 2 : Volume avec trois côtés connus

Données des longueurs de côtés $a = 3 \, \text{cm}$, $b = 4 \, \text{cm}$, $c = 5 \, \text{cm}$ et une hauteur de pyramide de $10 \, \text{cm}$ :

1. Calculer le semi-périmètre $s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$
2. Aire de la base $S_{\text{base}} = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm}^2$
3. Volume $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 10 = 20 \, \text{cm}^3$

Exemple 3 : Deux côtés et angle inclus connus

Pour une base triangulaire avec $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 6 \, \text{cm}$, angle $\theta = 60^\circ$, et une hauteur de pyramide de $8 \, \text{cm}$ :

1. Aire de la base $S_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin(60^\circ) = \frac{15\sqrt{3}}{2} \, \text{cm}^2$
2. Volume $V = \frac{1}{3} \times \frac{15\sqrt{3}}{2} \times 8 = 20\sqrt{3} \, \text{cm}^3$

Questions Fréquemment Posées

Quel est le volume d’une pyramide triangulaire si l’aire de la base et la hauteur sont connues ?

Le volume d’une pyramide triangulaire est un tiers du produit de l’aire de la base et de la hauteur.

Combien de faces triangulaires comporte une pyramide ?

Une pyramide triangulaire se compose de quatre faces triangulaires : la base et trois faces latérales.

Une pyramide triangulaire peut-elle avoir une base horizontale ?

Oui, la base d’une pyramide triangulaire est souvent horizontale dans les illustrations conventionnelles, bien qu’en réalité, elle peut être orientée dans n’importe quelle position par rapport à un autre plan de référence.

Quelle est la différence entre une pyramide triangulaire et un tétraèdre ?

Un tétraèdre est un polyèdre avec quatre faces triangulaires, qui peuvent être régulières (toutes les arêtes et angles sont égaux) ou irrégulières. Une pyramide triangulaire est un cas particulier de tétraèdre, où une face est la base, et les trois autres sont des faces latérales. Donc, toutes les pyramides triangulaires sont des tétraèdres, mais tous les tétraèdres n’ont pas nécessairement une base désignée.

Quel est le volume d’une pyramide triangulaire régulière si la longueur de l’arête de la base est 3 ?

Pour un tétraèdre régulier ou une pyramide triangulaire régulière (où toutes les arêtes sont égales), le volume est calculé en utilisant la formule : $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$ En substituant $a = 3$ : $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 3^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 27 = \frac{27\sqrt{2}}{12} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

Le volume d’une pyramide triangulaire régulière est 3,182 cm³.

Note : Si le terme “pyramide triangulaire régulière” se réfère à une pyramide avec un triangle régulier à la base et des arêtes latérales égales, mais pas nécessairement avec des arêtes de base et des arêtes latérales égales, alors la formule du volume dépendra de la hauteur de la pyramide et de l’aire de la base. Dans ce cas, la formule du volume dépendra de la hauteur de la pyramide et de l’aire de la base.