Calculateur de volume de pyramide tronquée

Qu’est-ce qu’une pyramide tronquée ?

Une pyramide tronquée, également connue sous le nom de tronc de pyramide, est une forme géométrique tridimensionnelle formée en coupant le sommet d’une pyramide avec un plan parallèle à sa base. Cela donne deux bases polygonales parallèles (la base originale et la partie supérieure tronquée) reliées par des faces trapézoïdales. Les pyramides tronquées sont couramment rencontrées dans l’architecture, l’ingénierie et les objets de la vie quotidienne comme les seaux ou les abat-jours.

Formule du volume d’une pyramide tronquée

Le volume $V$ d’une pyramide tronquée peut être calculé en utilisant les surfaces des deux bases et la hauteur (la distance perpendiculaire entre les bases). La formule est :

Où :

• $S_1$ = Surface de la base inférieure
• $S_2$ = Surface de la base supérieure
• $h$ = Hauteur de la pyramide tronquée

Cette formule s’applique uniquement si la troncature est parallèle à la base et que les deux bases sont de forme similaire (par exemple, deux carrés ou deux rectangles).

Exemples de calcul étape par étape

Exemple 1 : Bases carrées

Problème :
Une pyramide tronquée a une superficie de base inférieure de $100 \, \text{cm}^2$, une superficie de base supérieure de $25 \, \text{cm}^2$ et une hauteur de $12 \, \text{cm}$. Calculez son volume.

Solution :

1. Remplacez les valeurs dans la formule : $$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \left( 100 + 25 + \sqrt{100 \cdot 25} \right)$$
2. Simplifiez le terme de la racine carrée : $$\sqrt{100 \cdot 25} = \sqrt{2\,500} = 50$$
3. Combinez les termes : $$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot (100 + 25 + 50) = 4 \cdot 175 = 700 \, \text{cm}^3$$

Exemple 2 : Bases rectangulaires

Problème :
Un tronçon a une base inférieure de $8 \, \text{m} \times 6 \, \text{m}$ et une base supérieure de $4 \, \text{m} \times 3 \, \text{m}$. La hauteur est de $5 \, \text{m}$. Trouver son volume.

Solution :

1. Calculer les surfaces : $$S_1 = 8 \cdot 6 = 48 \, \text{m}^2, \quad S_2 = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{m}^2$$
2. Remplacer dans la formule : $$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot \left( 48 + 12 + \sqrt{48 \cdot 12} \right)$$
3. Simplifier le terme de la racine carrée : $$\sqrt{576} = 24$$
4. Combiner les termes : $$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 84 = 140 \, \text{m}^3$$

Contexte historique et applications

Le concept de pyramides tronquées remonte aux civilisations anciennes. Par exemple :

• Les pyramides égyptiennes étaient souvent construites avec des sommets tronqués pour des raisons religieuses ou structurelles.
• Les ziggourats mésopotamiens ressemblaient à des pyramides tronquées à gradins.

Les applications modernes incluent :

• Architecture : Conception de puits de lumière ou d’atriums.
• Ingénierie : Calcul des volumes de matériaux pour des composants tels que les cheminées ou les conduits.
• Modélisation 3D : Création de formes effilées dans les graphiques informatiques.

Erreurs courantes à éviter

1. Confondre hauteur avec hauteur oblique : La hauteur $h$ est la distance perpendiculaire entre les bases, pas la longueur de la face latérale.
2. Bases non parallèles : La formule suppose que les bases sont parallèles. Si ce n’est pas le cas, la forme n’est pas un tronçon, et la formule ne s’applique pas.
3. Unités incohérentes : Assurez-vous que toutes les mesures (surfaces et hauteur) utilisent le même système d’unités.

Surface des bases

Pour le calcul de la surface des bases d’une pyramide tronquée, vous pouvez utiliser les calculateurs suivants :

• Surface d’un carré
• Surface d’un rectangle
• Surface d’un triangle
• Surface d’un polygone régulier
• Surface d’un trapèze

Questions fréquemment posées

Comment convertir les unités avant le calcul ?

Convertissez toutes les mesures dans la même unité. Par exemple, si $S_1 = 2 \, \text{m}^2$, $S_2 = 1\,500 \, \text{cm}^2$, convertissez $S_2$ en $0{,}15 \, \text{m}^2$ avant d’appliquer la formule. Pour la conversion des unités de surface, utilisez notre convertisseur convertisseur d’unités de surface.

Pourquoi y a-t-il une racine carrée dans la formule ?

Le terme $\sqrt{S_1 \cdot S_2}$ représente géométriquement la “moyenne” des deux surfaces de base, en tenant compte de l’échelle linéaire entre elles en raison de la hauteur.

Quel est le volume d’une pyramide tronquée avec des bases de 10x10 cm et 5x5 cm et une hauteur de 7 cm ?

Le volume de la pyramide tronquée est de 408,33 cm³.