Calculateur du théorème de Bayes

Les Bases en Langage Simple

Le Théorème de Bayes vous aide à ajuster vos croyances en fonction de nouvelles informations. Pensez-y comme un outil mathématique pour répondre à : « Quelle est la probabilité que mon hypothèse soit exacte maintenant que j’ai vu la preuve ? »

Imaginez que vous essayez de déterminer s’il va pleuvoir aujourd’hui. Le Théorème de Bayes utilise trois informations clés :

1. Votre estimation initiale (par exemple, 20 % de chance de pluie).
2. La probabilité de la preuve si votre hypothèse est vraie (par exemple, 90 % de chance de nuages sombres lorsqu’il pleut).
3. À quelle fréquence la preuve se produit en général (par exemple, 10 % de chance de nuages sombres n’importe quel jour).

La formule combine ces éléments pour vous donner une probabilité mise à jour :

Essayez le Calculateur

Cet outil vous permet de résoudre pour n’importe quelle valeur manquante. Il suffit de remplir trois pourcentages (0–100 %) et de choisir quoi calculer :

Exemple :
Si vous voyez des nuages sombres (preuve), le calculateur pourrait vous dire que la chance de pluie passe de 20 % à 64 %.

Exemples dans la Vie Réelle

1. Tests Médicaux : Pourquoi « 95 % Précis » Peut Induire en Erreur

• Antécédent : Seul 1 % des gens ont la Maladie X.
• Vraisemblance : Le test est précis à 95 % pour les patients malades.
• Fausses Alertes : Le test est faux à 5 % pour les gens en bonne santé.
• Preuve Totale :
  $(95\% \times 1\%) + (5\% \times 99\%) = 5,9\%$
• Croyance Mise à Jour :
  $\frac{95\% \times 1\%}{5,9\%} \approx 16\%$
  Un test positif signifie juste un risque de 16 %, pas 95 % !

2. Emails Indésirables : Comment « Gratuit » Déclenche les Filtres

• Antécédent : 2 % des emails sont des spams.
• Vraisemblance : 80 % des emails spam disent « gratuit ».
• Fausses Alertes : 0,1 % des vrais emails disent « gratuit ».
• Croyance Mise à Jour :
  $\frac{80\% \times 2\%}{(80\% \times 2\%) + (0,1\% \times 98\%)} \approx 94\%$
  Un email avec « gratuit » a une chance de 94 % d’être un spam.

Guide Étape par Étape du Calculateur

Scénario : Vous voulez connaître la chance d’avoir une allergie rare (1 % d’antécédent) après un test positif (le test est précis à 90 % pour les cas réels, 8 % de faux positifs).

1. Entrez l’Antécédent : 1 % (à quelle fréquence l’allergie est-elle commune).
2. Entrez la Vraisemblance : 90 % (précision du test si vous êtes allergique).
3. Entrez la Preuve Totale :
   $(90\% \times 1\%) + (8\% \times 99\%) = 8,82\%$
4. Calculer le Postérieur :
   $\frac{90\% \times 1\%}{8,82\%} \approx 10,2\%$
   Résultat : Un test positif signifie seulement une chance de 10 % que vous l’ayez vraiment !

Erreurs Courantes à Éviter

1. Ignorer le Taux de Base : N’oubliez pas la probabilité initiale (par exemple, les maladies rares restent rares même avec des tests positifs).
2. Confusion « Précision » : Une « précision à 95 % » d’un test ne signifie pas une chance de 95 % que vous soyez malade ; cela dépend de la fréquence de la maladie.
3. Oublier les Faux Positifs : Demandez-vous toujours : « À quelle fréquence cette preuve se produit-elle par accident ? »

Pourquoi le Théorème de Bayes Est Important Aujourd’hui

• IA & Recommandations Netflix : Mettez à jour les prédictions en fonction de ce que vous regardez.
• Voitures Autonomes : Ajuste les décisions à l’aide de données de capteurs en temps réel.
• Tests COVID : Aide à interpréter les résultats dans les groupes à faible risque contre les groupes à haut risque.

FAQ

Puis-je utiliser des pourcentages au lieu de décimales ?

Oui ! Le calculateur fonctionne avec des entrées de 0 à 100 % (pas besoin de 0,05 = 5 %).

Que faire si je ne connais pas la « Preuve Totale » ?

Sélectionnez « Calculer P(E) » dans l’outil. Cela utilise :
$P(E) = (P(E|H) \times P(H)) + (\text{Taux de Faux Positifs} \times (100\% - P(H)))$

Le Théorème de Bayes Fonctionne-t-il pour Plusieurs Mises à Jour ?

Absolument ! Utilisez le postérieur (croyance mise à jour) comme votre nouvel antécédent pour la prochaine preuve.