Calculateur de valeur p

Qu’est-ce qu’une valeur p ?

Une valeur p quantifie la probabilité d’observer des résultats aussi extrêmes que ceux obtenus dans une étude, en supposant que l’hypothèse nulle (H₀) est vraie. Elle répond à la question : « Si l’hypothèse nulle est vraie, quelle est la probabilité d’obtenir mes données ? »

Définitions clés

• Hypothèse nulle (H₀) : L’hypothèse par défaut (ex. : « aucun effet »).
• Hypothèse alternative (H₁) : L’affirmation testée (ex. : « un effet existe »).
• Statistique de test : Une valeur standardisée (ex. : score Z, score t) calculée à partir des données échantillonnées.

Contexte historique

La valeur p a été popularisée par Ronald Fisher dans les années 1920. Fisher a suggéré un seuil de 0,05 pour la signification statistique, une convention encore débattue aujourd’hui.

Formules

La valeur p dépend de la statistique de test et du type de test d’hypothèse :

Formule générale

où $S$ est la statistique de test et $x$ est sa valeur observée.

Test Z

Pour un test Z avec le score Z $Z$ :

• Unilatéral à gauche : $\Phi(Z)$
• Unilatéral à droite : $1 - \Phi(Z)$
• Bilatéral : $2 \times \Phi(-|Z|)$

Test t

Pour un test t avec le score $t$ et $dl = n-1$ :

• Unilatéral à gauche : $T\_{dl}(t)$
• Unilatéral à droite : $1 - T\_{dl}(t)$
• Bilatéral : $2 \times T\_{dl}(-|t|)$

Test du chi carré (χ²)

Pour un score χ² avec $k$ degrés de liberté :

• Unilatéral à gauche : $\chi²\_{k}(x)$
• Unilatéral à droite : $1 - \chi²\_{k}(x)$

Test F

Pour un score F avec $(d₁, d₂)$ degrés de liberté :

• Unilatéral à gauche : $F\_{d₁,d₂}(x)$
• Unilatéral à droite : $1 - F\_{d₁,d₂}(x)$

Exemples

Exemple 1 : Test Z pour une moyenne populationnelle

Scénario : Une usine affirme que ses ampoules durent 1 200 heures. Un échantillon de 50 ampoules donne $\bar{X} = 1 180$ et $\sigma = 100$. Testez si la moyenne est inférieure à l’affirmation.
Solution :

• Valeur p unilatérale à gauche : $\Phi(-1,414) \approx 0,078$
  Conclusion : Ne pas rejeter H₀ à $\alpha = 0,05$.

Exemple 2 : Test du chi carré pour l’indépendance

Scénario : Une étude teste si le genre (Homme/Femme) et la préférence (Oui/Non) sont indépendants. χ² observé = 6,25, $dl = 1$.
Solution :

• Valeur p unilatérale à droite : $1 - \chi²\_{1}(6,25) \approx 0,012$
  Conclusion : Rejeter H₀ à $\alpha = 0,05$.

Guide d’interprétation

• valeur p < 0,01 : Preuve forte contre H₀.
• 0,01 ≤ valeur p < 0,05 : Preuve modérée contre H₀.
• valeur p ≥ 0,05 : Preuve insuffisante pour rejeter H₀.

Idées reçues courantes

1. Mythe : Une valeur p élevée « prouve » H₀.
   Réalité : Elle indique seulement un manque de preuve contre H₀.
2. Mythe : valeur p = Probabilité que H₀ soit vraie.
   Réalité : La valeur p suppose H₀ vraie ; elle ne mesure pas sa vraisemblance.

FAQ

Une valeur p peut-elle être négative ?

Non. Les valeurs p représentent des probabilités et doivent être entre 0 et 1.

Comment interpréter une valeur p de 0,07 ?

À $\alpha = 0,05$, on ne rejette pas H₀. Cependant, ce résultat est marginalement significatif et mérite une étude approfondie.

Pourquoi 0,05 est-il un seuil de signification courant ?

Popularisé par Fisher, 0,05 équilibre l’erreur de type I (faux positifs) et la sensibilité. Mais ce seuil est arbitraire et dépend des domaines (ex. : la physique utilise $5\sigma$, $p \approx 3 \times 10^{-7}$).

Comment la taille d’échantillon affecte-t-elle les valeurs p ?

Les grands échantillons augmentent la sensibilité des tests, facilitant la détection de petits effets. Toujours rapporter la taille d’effet (ex. : d de Cohen) avec les valeurs p.

Quelle est la différence entre tests unilatéraux et bilatéraux ?

• Unilatéral : Teste un effet dans une direction (ex. : « supérieur à »).
• Bilatéral : Teste un effet sans direction. Utilise $2 \times$ la probabilité de la queue.