दीर्घवृत्त परिधि कैलकुलेटर

परवलय का पेरिमीटर क्या है?

परवलय का पेरिमीटर उसकी सीमा की लंबाई है। एक परवलय एक ज्यामितीय आकृति है जो एक वृत का सामान्यीकरण है और दो अक्षों द्वारा परिभाषित होती है: बड़ा अक्ष (a) और छोटा अक्ष (b)। इसके आकार के कारण परवलय का पेरिमीटर खोजना वृत की परिधि की गणना से अधिक जटिल कार्य है। सरल साधनों का उपयोग कर परवलय का पेरिमीटर सटीक रूप से निकालने के लिए कोई एकल सूत्र नहीं है, और इस कारण विभिन्न निकटतम सूत्रों का उपयोग किया जाता है।

परवलय के पेरिमीटर की गणना के लिए सबसे प्रसिद्ध निकटतम सूत्रों में से एक रामानुजन का सूत्र है। भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन ने इसे 20वीं शताब्दी की शुरुआत में प्रस्तावित किया था, और तब से यह अपने औसत मात्रा में सटीकता के कारण व्यापक रूप से लागू हुआ है। यह सूत्र दिखाता है कि प्रत्येकावर्ति को ज्यामितीय समस्याओं और दैनिक गणनाओं के संदर्भ में कैसे माना जा सकता है।

रामानुजन सूत्र का इतिहास

परवलय के पेरिमीटर के निकटतम गणना के लिए रामानुजन सूत्र की प्रस्तावना 1900 की शुरुआत में की गई थी। ज्ञात भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन ने विभिन्न निकटतम विधियों के विश्लेषण और कई प्रयोगों के बाद इस सूत्र को विकसित किया। उनकी पद्धति ने जटिल गणितीय उपकरणों की आवश्यकता के बिना उच्च सटीकता के साथ परवलय की लंबाई की गणना को महत्वपूर्ण रूप से सरल बना दिया।

यह सूत्र उनके G.H. Hardy को लिखे पत्रों में से एक में प्रकाशित हुआ था, जिनके साथ रामानुजन की पेशेवर सहयोगिता थी। यद्यपि खुद स्रोत औसत है, इसने उच्च सटीकता के साथ परिणाम देते हुए कई दैनिक अनुप्रयोगों में अपनी प्रभावशीलता साबित की है।

सूत्र की प्रयोज्यता और इसकी सटीकता

यद्यपि रामानुजन सूत्र एकल उपलब्ध नहीं है, इसकी महत्वता इसकी सरलता और गणना के लिए सुलभता में प्रकट होती है। इसका उपयोग विभिन्न इंजीनियरिंग और वैज्ञानिक कार्यों में होता है, जहां परवलय का पेरिमीटर जानने की आवश्यकता होती है, जैसे वास्तुकला, यांत्रिकी इंजीनियरिंग और खगोल विज्ञान में।

रामानुजन सूत्र उन जटिल इंटीग्रल्स और अवकल समीकरणों के उपयोग से बचाता है जो परवलय के घुमाव को सटीक रूप से निकालने के लिए आवश्यक होंगे। हालांकि, अत्यंत सटीक गणनों के लिए, अधिक जटिल गणना विधियाँ, जैसे कि न्युमेरिकल इंटीग्रेशन, का उपयोग किया जा सकता है।

सूत्र

परवलय के पेरिमीटर की निकटतम गणना के रामानुजन का सूत्र इस प्रकार है:

$$P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]$$

जहाँ $a$ परवलय का बड़ा अर्ध-अक्ष है, और $b$ परवलय का छोटा अर्ध-अक्ष है।

यह सूत्र मूल अंकगणितीय संचालन और त्रिघातमूल्यांक फलन पर आधारित परिधि की गणना करने की अनुमति देता है।

उदाहरण

उदाहरण 1
एक परवलय के लिए जिसमें बड़ा अर्ध-अक्ष $a = 5$ और छोटा अर्ध-अक्ष $b = 3$ है, परिधि लगभग इस प्रकार गणना की जाती है:

$$P \approx \pi \left[3(5+3) - \sqrt{(3 \times 5 + 3)(5 + 3 \times 3)}\right]$$

गणना देती है:

$$P \approx \pi \left[24 - \sqrt{(15+3)(5+9)}\right]$$ $$P \approx \pi \left[24 - \sqrt{18 \times 14}\right]$$ $$P \approx \pi \left[24 - 15.3\right] \approx 25.53$$

उदाहरण 2
मान लीजिए $a = 10$ और $b = 7$, परवलय की परिधि को गणना करें:

$$P \approx \pi \left[3(10+7) - \sqrt{(3 \times 10 + 7)(10 + 3 \times 7)}\right]$$ $$P \approx \pi \left[51 - \sqrt{(30+7)(10+21)}\right]$$ $$P \approx \pi \left[51 - \sqrt{37 \times 31}\right]$$ $$P \approx \pi \left[51 - 34.06\right] \approx 53.82$$

टिप्पणियाँ

रामानुजन सूत्र अधिकतर व्यवहारिक आवश्यकताओं के लिए पर्याप्त है, लेकिन बहुत कैसे परवलय के लिए इसकी सटीकता घट सकती है, जहां बड़ा और छोटा अक्ष के बीच अनुपात महत्वपूर्ण रूप से भिन्न होता है।

अधिक संतुलन और सटीकता के लिए, विशेषतः पेशेवर अनुप्रयोगों के लिए, अधिक जटिल विधियाँ, जैसे कि न्युमेरिकल इंटीग्रेशन, का उपयोग किया जा सकता है ताकि परवलय के गणितीय प्रतिमान की विशेषताओं को ध्यान में रखा जा सके।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यह सूत्र आनुमानिक क्यों है?

रामानुजन का सूत्र पेरिमीटर का अनुमानीकरण करता है क्योंकि परवलय की ज्यामिति के लिए इसकी परिधि की लंबाई का कोई सटीक मौलिकता समाधान नहीं है।

यदि अर्ध-अक्षों की लंबाई 2.5 और 3.5 सें.मी. है, तो कैसे परवलय का पेरिमीटर निकालें?

रामानुजन के सूत्र का उपयोग करके:

$$P \approx \pi \left[3(2.5+3.5) - \sqrt{(3 \times 2.5 + 3.5)(2.5 + 3 \times 3.5)}\right]$$ $$P \approx \pi \left[18 - \sqrt{11 \times 13.5}\right]$$ $$P \approx \pi \left[18 - \sqrt{148.5}\right]$$ $$P \approx \pi \left[18 - 12.19\right] \approx 18.98$$

क्या परवलय के क्षेत्रफल की गणना के लिए अर्ध-अक्षों के मान पर्याप्त हैं?

हाँ, अर्ध-अक्ष $a$ और $b$ के मान परवलय का क्षेत्रफल निकालने के लिए पर्याप्त हैं। परवलय के क्षेत्रफल का सूत्र है: $A = \pi \cdot a \cdot b$। आपकी सुविधा के लिए, आप परवलय क्षेत्रफल कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

सही शब्द क्या है: परवलय की परिधि या परवलय का पेरिमीटर?

सही शब्द है “परवलय का पेरिमीटर”। “परिधि” शब्द परम्परागत रूप से वृतों से संबंधित अवधारणाओं के लिए उपयोग किया जाता है, जबकि एक परवलय सामान्यतः वृत नहीं होता।