कर्ण कैलकुलेटर

कर्ण क्या है?

कर्ण एक समकोण त्रिभुज की वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित होती है। ऐसे त्रिभुजों में, कर्ण हमेशा अन्य दो भुजाओं, जिन्हें पाद कहते हैं, से लंबा होता है। ज्यामिति और त्रिकोणमिति में, कर्ण विशेष रूप से पायथागोरस प्रमेय के कारण केंद्रीय भूमिका निभाता है। यह समकोण त्रिभुज का एक महत्वपूर्ण तत्व है क्योंकि यह समकोण के विपरीत होता है और आमतौर पर त्रिभुज का सबसे लंबा पक्ष होता है। हमारा कर्ण कैलकुलेटर विभिन्न उपलब्ध विधियों का उपयोग करके आसानी से इस भुजा की लंबाई निर्धारित करने में आपकी मदद करेगा।

पायथागोरस प्रमेय

कर्ण का निर्धारण करने के लिए पायथागोरस प्रमेय एक मुख्य उपकरण है। यह बताता है कि किसी भी समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग ($c$) अन्य दो भुजाओं ($a$ और $b$) की लंबाइयों के वर्गों के योग के बराबर होता है:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

यहाँ $a$ और $b$ पादों की लंबाइयाँ हैं, और $c$ कर्ण की लंबाई है। यह विधि दोनों पाद ज्ञात होने पर कर्ण की आसान गणना में मदद करती है।

कोण का उपयोग

यदि एक पाद ($a$) और एक कोण ($\beta$) ज्ञात हैं, तो आप कर्ण को खोजने के लिए कोसाइन की त्रिकोणमितीय विधि का उपयोग कर सकते हैं:

$c = \frac{a}{\cos(\beta)}$

जहां $\beta$ ज्ञात पाद के सन्निकट कोण है। यह विधि विशेष रूप से तब उपयोगी होती है जब केवल एक पाद और कोण ज्ञात होते हैं।

क्षेत्रफल और एक पाद

यदि क्षेत्रफल ($A$) और एक पाद ($a$) ज्ञात हैं, तो कर्ण का निर्धारण निम्नानुसार किया जा सकता है:

1. क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके दूसरा पाद खोजें ($b$): $b = \frac{2A}{a}$

2. फिर पायथागोरस प्रमेय का उपयोग करें: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{2A}{a}\right)^2}$

उदाहरण

उदाहरण 1: दो पाद के साथ कर्ण खोजें

यदि पादों की लंबाइयां 3 और 4 हैं, तो कर्ण की लंबाई क्या है?

पायथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

उदाहरण 2: एक पाद और कोण के साथ कर्ण खोजें

यदि एक पाद 5 है और कोण 30° है, तो कर्ण खोजें।

कोसाइन का उपयोग करके: $c = \frac{5}{\cos(30^\circ)} \rightarrow c = \frac{5}{\sqrt{3}/2} = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5.77$

उदाहरण 3: क्षेत्रफल और एक पाद के साथ कर्ण खोजें

यदि क्षेत्रफल 6 है और एक पाद 3 है, तो कर्ण खोजें।

पहले दूसरा पाद खोजें: $b = \frac{2 \times 6}{3} = 4$

अब पायथागोरस फॉर्मूला का उपयोग करें: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

नोट्स

• सुनिश्चित करें कि कोण को रेडियन में या डिग्री में व्यक्त किया गया है, जो कि कैलकुलेटर की सेटिंग के अनुसार हो।
• यदि गणनाओं में क्षेत्र का उपयोग कर रहे हैं, तो सुनिश्चित करें कि लंबाई और क्षेत्र की माप की इकाई लगातार समान है (जैसे कि क्षेत्र के लिए वर्ग मीटर और लंबाई के लिए मीटर)।
• यदि आपको समकोण त्रिभुज के कोण की गणना करने की आवश्यकता है, तो आप कोण कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर पाद 6 और 8 हैं तो कर्ण कैसे खोजें?

पायथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

कर्ण को जानना क्यों महत्वपूर्ण है?

कर्ण को जानना वास्तुकला, इंजीनियरिंग, भौतिकी और कई अन्य विषयों में उपयोगी है, जहां त्रिभुज के पक्षों के अनुपात और संबंधों को समझना महत्वपूर्ण है।

क्या कैलकुलेटर का रोजमर्रा के कार्यों के लिए उपयोग किया जा सकता है?

हाँ, कर्ण कैलकुलेटर निर्माण, डिजाइन, नेविगेशन और यहां तक कि दूरी मापने जैसे दैनिक कार्यों में उपयोगी हो सकता है।

कर्ण हमेशा सबसे लंबी भुजा क्यों होता है?

चूंकि यह समकोण के विपरीत होता है, पायथागोरस प्रमेय के अनुसार इसकी लंबाई हमेशा समकोण त्रिभुज में अन्य दोनों भुजाओं से अधिक होती है।

कर्ण खोजने के लिए अन्य विधियों का उपयोग किया जा सकता है?

हाँ, ज्ञात जानकारी के आधार पर विभिन्न सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि त्रिकोणमितीय अनुपात या क्षेत्रफल।

अगर पाद 3.5 और 7 सेमी हैं तो एक समकोण त्रिभुज का कर्ण खोजें।

पायथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: $c = \sqrt{3.5^2 + 7^2} = \sqrt{12.25 + 49} = \sqrt{61.25} \approx 7.83$