समद्विबाहु त्रिकोण कैलकुलेटर

समद्विबाहु त्रिकोण क्या है?

समद्विबाहु त्रिकोण एक ज्यामितीय आकृति है जो दो समान भुजाओं के लिए जानी जाती है, जिन्हें पैर कहा जाता है। तीसरा पक्ष, जो बाकी दोनों के समान नहीं है, आधार के रूप में संदर्भित होता है। समद्विबाहु त्रिकोण की एक उल्लेखनीय विशेषता यह है कि बराबर भुजाओं के विपरीत कोण, जिन्हें आधार कोण के रूप में जाना जाता है, समान होते हैं। दो समान भुजाओं के बीच के कोण को शीर्ष कोण कहा जाता है। उनकी समरूपता के कारण, समद्विबाहु त्रिकोण ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं और उनके साथ कई दिलचस्प गुण और प्रमेय जुड़े होते हैं।

यह कैलकुलेटर क्या गणना कर सकता है?

यह कैलकुलेटर क्षेत्रफल और परिधि को गणना कर सकता है यदि भुजाओं और आधार की लंबाई ज्ञात हो, या यदि आधार और ऊँचाई दी गई हो। यह इन मैट्रिक्सों को इस स्थिति में भी गणना कर सकता है यदि एक भुजा और शीर्ष कोण ज्ञात हो। समद्विबाहु त्रिकोण के अन्य पैरामीटरों की गणना करने के लिए, आप अतिरिक्त कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं भुजाएँ, आधार, ऊँचाई, और कोण के लिए।

प्रमुख शब्द और संकेत

• भुजाएँ ($a$): त्रिकोण की दो समान भुजाएं।
• आधार ($b$): वह भुजा जो भुजाओं से भिन्न होती है, जो शीर्ष के विपरीत स्थित होती है।
• शीर्ष से ऊँचाई ($h_1$): आधार पर शीर्ष से निकलने वाला लंब।
• भुजाओं के लिए ऊँचाई ($h_2$): आधार कोण से विपरीत भुजा तक पहुँचने वाला लंब।
• शीर्ष कोण ($\beta$): दो समान भुजाओं के बीच का कोण।
• आधार कोण ($\alpha$): जो आधार के अंत में होते हैं।
• परिधि ($P$): त्रिकोण के सभी भुजाओं की लंबाइयों का योग।
• क्षेत्रफल ($A$): त्रिकोण के पक्षों के द्वारा घेरा गया क्षेत्र।

समद्विबाहु त्रिकोण के गुण

1. भुजाओं की समानता: भुजाएँ (जिन्हें $a$ से दर्शाया गया है) समान लंबाई की होती हैं।
2. आधार कोण की समानता: आधार कोण (जिसे $\alpha$ से दर्शाया गया है) समान होते हैं।
3. मध्यिका, ऊँचाई और द्विभाजन का आराधक: शीर्ष से उतारी गई ऊँचाई, मध्यिका और द्विभाजन आधार के साथ एक ही स्थान पर हैं।
4. भुजाओं की ऊँचाई की समानता: आधार कोण के विपरीत भुजाओं तक पहुँची ऊँचाई समान होती हैं।
5. आधार कोण द्विभाजक की समानता: आधार कोण की द्विभाजन समान होती हैं।

सूत्र

समद्विबाहु त्रिकोण के क्षेत्रफल और परिधि की गणना के लिए मूल सूत्र निम्नलिखित हैं:

1. क्षेत्रफल ($A$):

   भुजाओं और आधार को जानते हुए:

   $$A = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$$

   आधार और ऊँचाई को जानते हुए:

   $$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$$

   भुजा और शीर्ष कोण को जानते हुए:

   $$A = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$$

2. परिधि ($P$):

   $$P = 2a + b$$

   यदि आधार $b$ और ऊँचाई $h_1$ ज्ञात हैं, तो परिधि सूत्र में $a$ को प्रतिस्थापित करें:

   $$a = \sqrt{h_1^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

   यदि भुजा $a$ और शीर्ष कोण $\beta$ ज्ञात हैं, तो $b$ को प्रतिस्थापित करें:

   $$b = 2a \cdot \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$$

उदाहरण

क्षेत्रफल की गणना का उदाहरण

उदाहरण 1: एक समद्विबाहु त्रिकोण का क्षेत्रफल ज्ञात करें, जिसकी भुजा लंबाई $a = 5$ सेमी और आधार लंबाई $b = 6$ सेमी है।

सूत्र का उपयोग करें:

$$A = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$$

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

$$A = \frac{1}{4} \cdot 6 \cdot \sqrt{4 \times 5^2 - 6^2} = 12 \text{ cm}^2$$

उदाहरण 2: एक समद्विबाहु त्रिकोण का क्षेत्रफल ज्ञात करें, जिसका आधार $b = 8$ सेमी और ऊँचाई $h_1 = 5$ सेमी है।

सूत्र का उपयोग करें:

$$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$$

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

$$A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20 \text{ cm}^2$$

उदाहरण 3: एक समद्विबाहु त्रिकोण का क्षेत्रफल ज्ञात करें, जिसकी भुजा $a = 7$ सेमी और शीर्ष कोण $\beta = 45^\circ$ है।

सूत्र का उपयोग करें:

$$A = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$$

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

$$A = \frac{1}{2} \cdot 7^2 \cdot \sin(45^\circ) \approx 17.32 \text{ cm}^2$$

परिधि की गणना का उदाहरण

उदाहरण 1: यदि एक समद्विबाहु त्रिकोण का आधार 8 सेमी है और इसकी ऊँचाई 6 सेमी है, तो परिधि ज्ञात करें।

1. भुजा की गणना करें:

   $$a = \sqrt{6^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \approx 7.21 \text{ cm}$$

2. परिधि ($P$):

   $$P = 2 \times 7.21 + 8 = 22.42 \text{ cm}$$

उदाहरण 2: यदि एक समद्विबाहु त्रिकोण की भुजा 10 सेमी है और शीर्ष कोण 60º है, तो परिधि ज्ञात करें।

1. आधार की गणना करें:

   $$b = 2 \times 10 \cdot \sin\left(30º\right) = 20 \times 0.5 = 10 \text{ cm}$$

2. परिधि ($P$):

   $$P = 2 \times 10 + 10 = 30 \text{ cm}$$

नोट्स

• एक समद्विबाहु त्रिकोण एक समबाहु त्रिकोण हो सकता है यदि सभी दिशाएँ समान हों।
• ऊँचाई भी समानांतर मधिका और द्विभाजक के रूप में काम करती है क्योंकि इसकी समरूपता होती है।
• कोण और ऊँचाई की गणना के लिए अक्सर त्रिकोणमिति कार्यों का उपयोग होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

समद्विबाहु त्रिकोण का क्षेत्रफल कैसे

समद्विबाहु त्रिकोण का क्षेत्रफल कई तरीकों से गणना किया जा सकता है:

• आधार और ऊँचाई को जानते हुए: $A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$
• भुजा और शीर्ष कोण को जानते हुए: $A = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$
• आधार और एक भुजा को जानते हुए: $A = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$

क्या एक समद्विबाहु त्रिकोण की सभी ऊँचाई समान होती हैं?

नहीं, शीर्ष से ऊँचाई आधार के साथ सामान्य होती है और माध्यमिक और द्विभाजक समान होती हैं, जबकि आधार कोण से विपरीत भुजाओं तक पहुँची ऊँचाई समान होती हैं।

एक समद्विबाहु त्रिकोण की परिधि का पता कैसे करें जब भुजा 7 सेमी और आधार 10.5 सेमी है?

सूत्र का उपयोग करें: $P = 2a + b$.

इस मामले में, $a = 7$, $b = 10.5$; इसलिए, $P = 2 \times 7 + 10.5 = 24.5 \text{ cm}$.

एक समद्विबाहु त्रिकोण की परिधि का पता लगाने के लिए कौन सी जानकारी आवश्यक है?

परिधि की गणना करने के लिए, आधार और एक भुजा की लंबाई पर्याप्त है। ऊँचाई या कोणों का भी संयोगात्मक गणना में उपयोग किया जा सकता है।

क्या हेरॉन का सूत्र एक समद्विबाहु त्रिकोण के क्षेत्रफल की गणना के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है?

हेरॉन का सूत्र निश्चित रूप से क्षेत्रफल को निर्धारित किया जा सकता है यदि त्रिकोण की सभी दिशाएँ ज्ञात हों। यह समद्विबाहु त्रिकोण के साथ ही किसी भी अन्य त्रिकोण के लिए लागू होता है।