समद्विबाहु त्रिभुज ऊंचाई कैलकुलेटर

समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई क्या है

समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई एक लंबवत रेखा होती है जो शीर्ष (वह बिंदु जहां दो समान पक्ष मिलते हैं) से आधार तक खींची जाती है, या त्रिभुज के आधार के विस्तार तक। समद्विबाहु त्रिभुज में दो पक्ष लंबाई में समान होते हैं (इन्हें पार्श्व पक्ष कहा जाता है), जबकि तीसरा पक्ष आधार होता है। शीर्ष से आधार तक खींची गई ऊँचाई आधार को दो समान खंडों में विभाजित करती है और शीर्ष पर कोण संख्या के रूप में कार्य करती है। आप हमारे समद्विबाहु त्रिभुज कैलकुलेटर का उपयोग इसकी क्षेत्रफल और परिधि की गणना करने के लिए कर सकते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज में ऊँचाइयों की विशेषताएं

समद्विबाहु त्रिभुज में, ऊँचाई जो शीर्ष से आधार तक खींची जाती है उसमें कई विशेष विशेषताएं होती हैं:

• यह आधार को दो समान भागों में विभाजित करती है।
• यह त्रिभुज की माध्यिका के रूप में कार्य करती है।
• यह शीर्ष पर कोण संख्या के रूप में कार्य करती है।
• यह आधार के लंबवत होती है।

एक आधार कोण से पार्श्व पक्ष तक की ऊँचाई की अपनी विशेषताएं होती हैं:

• यह विपरीत आधार कोण से ऊँचाई के बराबर होती है।
• यह पार्श्व पक्ष के साथ एक समकोण बनाती है।
• यह पार्श्व पक्ष को असमान खंडों में विभाजित करती है।

ऊँचाइयों की गणना के लिए सूत्र

शीर्ष से ऊँचाई (h₁)

1. पार्श्व पक्ष और आधार का उपयोग करना: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$

2. क्षेत्रफल और आधार का उपयोग करना: $h_1 = \frac{2A}{b}$

3. आधार कोण और पार्श्व पक्ष का उपयोग करना: $h_1 = a \sin{\alpha}$

आधार कोण से ऊँचाई (h₂)

1. शीर्ष कोण और पार्श्व पक्ष का उपयोग करना: $h_2 = a \sin{\beta}$

2. पार्श्व पक्ष और आधार का उपयोग करना। आरंभ करने के लिए, हम शीर्ष से ऊँचाई के लिए सूत्र का उपयोग करेंगे: $h_2 = a \sin{\beta}$ जहां कोण $\beta$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $\beta = 180° - 2\alpha$, जहां $\alpha=\arccos{\left(\frac{b}{2a}\right)}$

3. क्षेत्रफल और पार्श्व पक्ष का उपयोग करना: $h_2 = \frac{2A}{a}$

उदाहरण गणनाएं

उदाहरण 1

दिया गया: पार्श्व पक्ष $a = 10$ सेमी, आधार $b = 12$ सेमी। पाएं: शीर्ष से ऊँचाई $h_1$

समाधान: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{100 - \frac{144}{4}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ सेमी

उदाहरण 2

दिया गया: क्षेत्रफल $A = 60 \text{ cm}^2$, आधार $b = 10 \text{ cm}$ पाएं: शीर्ष से ऊँचाई $h_1$

समाधान: $h_1 = \frac{2A}{b} = \frac{2 \times 60}{10} = 12$ सेमी

उदाहरण 3

दिया गया: शीर्ष कोण $\beta = 36°$, पार्श्व पक्ष $a = 15 \text{ cm}$ पाएं: शीर्ष से ऊँचाई $h_2$

समाधान: $h_2 = a \sin{\beta} = 15 \sin{36°} = 15 \times 0.5878 \approx 8.817 \text{ cm}$

उदाहरण 4

दिया गया: क्षेत्रफल $A = 40 \text{ cm}^2$, पार्श्व पक्ष $a = 13 \text{ cm}$ पाएं: आधार कोण से ऊँचाई $h_2$

समाधान: $h_2 = \frac{2A}{a} = \frac{2 \times 40}{13} \approx 6.15 \text{ cm}$

महत्वपूर्ण नोट्स

1. जब ऊँचाई की गणना करें, याद रखें कि समद्विबाहु त्रिभुज में:

   • पार्श्व पक्ष समान होते हैं।
   • आधार कोण समान होते हैं।
   • सभी कोणों का योग 180° होता है।

2. त्रिभुज के तत्वों के बीच संबंधों पर विचार करें:

   • यदि $\alpha$ कोई आधार कोण है, तो $\beta = 180° - 2\alpha$
   • यदि $\beta$ शीर्ष कोण है, तो $\alpha = \frac{180° - \beta}{2}$

3. ऊँचाई को त्रिभुज के अंदर या बाहर खींचा जा सकता है, कोणों पर निर्भर करते हुए:

   • यदि शीर्ष कोण कोनिआल है, तो ऊँचाई त्रिभुज के अंदर होती है।
   • यदि शीर्ष कोण शिक्षा है, तो ऊँचाई त्रिभुज के बाहर होती है।
   • यदि शीर्ष कोण समकोण है, तो ऊँचाई पार्श्व पक्ष के साथ सामंजस्य स्थापित करती है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई कैसे पाएं यदि पार्श्व पक्ष $a = 17 \text{ cm}$ है और आधार कोण $\alpha = 42°$ है?

$h_1 = a \sin{\alpha} = 17 \sin{42°} = 17 \times 0.669 \approx 11.37 \text{ cm}$

शीर्ष से ऊँचाई और आधार कोण से ऊँचाई में क्या अंतर है?

शीर्ष से ऊँचाई आधार तक मापी जाती है और शीर्ष कोण संख्या के रूप में कार्य करती है, जबकि आधार कोण से ऊँचाई पार्श्व पक्ष तक मापी जाती है और विशेष गुण नहीं होती सिवाय इसके कि यह पार्श्व पक्ष के लंबवत होती है।

क्या समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई उसके पार्श्व पक्ष से बड़ी हो सकती है?

नहीं, ऊँचाई हमेशा पार्श्व पक्ष से छोटी होती है क्योंकि यह एक समकोण त्रिभुज का पायाँ के रूप में कार्य करती है जहां पार्श्व पक्ष विशालकाय होता है।

त्रिभुज की ऊँचाई कैसे बदलती है यदि आधार बढ़ाया जाता है जबकि पार्श्व पक्ष स्थिर रहते हैं?

आधार की लंबाई बढ़ाने से शीर्ष से ऊँचाई कम होगी, जबकि आधार कोण से ऊँचाई शुरू में बढ़ेगी और फिर कम होगी।

यदि क्षेत्रफल $A = 48 \text{ cm}^2$ है और आधार $b = 16 \text{ cm}$ है, तो समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई कैसे पाएं?

$h_1 = \frac{2A}{b} = \frac{2 \times 48}{16} = 6 \text{ cm}$

जब त्रिभुज के पार्श्व पक्ष उसके आधार के समान होते हैं, तो समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई क्या होती है?

ऐसी स्थिति में, त्रिभुज समद्विबाहु होता है, और ऊँचाई की गणना इस प्रकार की जाती है: $h_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ जहां $a$ त्रिभुज के पक्ष की लंबाई होती है।