त्रिकोण 30 60 90 गणक

त्रिकोण 30 60 90 क्या है?

एक 30 60 90 त्रिभुज एक विशेष प्रकार का समकोण त्रिभुज होता है जो अद्वितीय गुणधर्मों के कारण ज्यामितीय रूप से महत्वपूर्ण होता है। इसके कोण 30°, 60° और 90° होते हैं, और यह विशिष्ट अनुपात सुनिश्चित करता है कि इसके पक्ष निश्चित होते हैं। इन अनुपातों के साथ, 30 60 90 त्रिभुज का उपयोग अक्सर इंजीनियरिंग, वास्तुकला और विभिन्न गणनाओं में किया जाता है।

30 60 90 त्रिकोण की विशेषताएँ

1. पक्षीय अनुपात:

   • 30° के कोण के सामने का पक्ष कर्ण का आधा होता है।
   • 60° के कोण के सामने का पक्ष कर्ण का $\sqrt{3}$ गुना होता है।

2. अनुपात:

   • यदि कर्ण की लंबाई $c$ है, तो 30° के सामने वाले पक्ष की लंबाई $\frac{c}{2}$ होती है।
   • 60° के सामने वाले पक्ष की लंबाई $\frac{c \sqrt{3}}{2}$ होती है।

इन स्पष्ट अनुपातों के कारण, 30 60 90 त्रिकोण के पक्ष खोजने में सभी समस्याएँ आसानी से और सही तरीके से हल की जाती हैं।

सूत्र

आइए अब देखें कि इन गुणधर्मों का उपयोग करके त्रिकोण के विभिन्न मापदंडों की गणना कैसे की जाती है।

1. यदि पैर $a$ (30° के विपरीत) ज्ञात है:

• कर्ण $c$:

  $$c = 2a$$

• क्षेत्रफल $A$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

• परिधि $P$:

  $$P = (3 + \sqrt{3})a$$

2. यदि कर्ण $c$ ज्ञात है:

• पैर $a$:

  $$a = \frac{c}{2}$$

• दूसरा पैर $b$ (60° के विपरीत):

  $$b = a \cdot \sqrt{3} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$$

• क्षेत्रफल $A$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2$$

• परिधि $P$:

  $$P = \left(2 + \sqrt{3}\right) \frac{c}{2}$$

3. यदि परिधि $P$ ज्ञात है:

• पैर $a$:

  $$a = \frac{P}{3 + \sqrt{3}}$$

• कर्ण $c$:

  $$c = \frac{2P}{3 + \sqrt{3}}$$

• क्षेत्रफल $A$:

  $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{P}{3 + \sqrt{3}}\right)^2$$

4. यदि क्षेत्रफल $A$ ज्ञात है:

• पैर $a$:

  $$a = \sqrt{\frac{4A}{\sqrt{3}}}$$

• कर्ण $c$:

  $$c = 2a = 2\sqrt{\frac{4A}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{\frac{A}{\sqrt{3}}}$$

• परिधि $P$:

  $$P = (3 + \sqrt{3}) \sqrt{\frac{4A}{\sqrt{3}}}$$

उदाहरण

उदाहरण 1: ज्ञात पैर $a = 4$

1. कर्ण $c$:

   $$c = 2a = 2 \cdot 4 = 8$$

2. क्षेत्रफल $A$:

   $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3} \approx 6.93$$

3. परिधि $P$:

   $$P = (3 + \sqrt{3})a = (3 + \sqrt{3}) \cdot 4 = (3 + 1.732) \cdot 4 \approx 4 \cdot 4.732 \approx 18.93$$

उदाहरण 2: ज्ञात कर्ण $c = 10$

1. पैर $a$:

   $$a = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

2. दूसरा पैर $b$:

   $$b = a \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 \approx 8.66$$

3. क्षेत्रफल $A$:

   $$A = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 100 = 12.5\sqrt{3} \approx 21.66$$

4. परिधि $P$:

   $$P = \left(2 + \sqrt{3}\right) \frac{c}{2} = \left(2 + \sqrt{3}\right) \cdot 5 \approx (2 + 1.732) \cdot 5 \approx 3.732 \cdot 5 \approx 18.66$$

उदाहरण 3: ज्ञात परिधि $P = 30$

1. पैर $a$:

   $$a = \frac{P}{3 + \sqrt{3}} = \frac{30}{3 + 1.732} \approx \frac{30}{4.732} \approx 6.34$$

2. कर्ण $c$:

   $$c = \frac{2P}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 30}{3 + 1.732} \approx \frac{60}{4.732} \approx 12.66$$

3. क्षेत्रफल $A$:

   $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{30}{3 + \sqrt{3}}\right)^2 \approx \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 40.12 \approx 17.32$$

उदाहरण 4: ज्ञात क्षेत्रफल $A = 10$

1. पैर $a$:

   $$a = \sqrt{\frac{4A}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{40}{\sqrt{3}}} \approx \sqrt{23.09} \approx 4.8$$

2. कर्ण $c$:

   $$c = 2a \approx 2 \cdot 4.8 \approx 9.6$$

3. परिधि $P$:

   $$P = (3 + \sqrt{3}) a = (3 + 1.732) \cdot 4.8 \approx 4.732 \cdot 4.8 \approx 22.69$$

सामान्य प्रश्न

यदि कर्ण ज्ञात है तो पैर कैसे खोजें?

यदि कर्ण $c$ ज्ञात है, तो 30° के विपरीत पैर $a$ है $\frac{c}{2}$, और 60° के विपरीत $b$ है $\frac{c \sqrt{3}}{2}$।

क्या यह त्रिकोण वास्तुकला और अन्य क्षेत्रों में उपयोग किया जा सकता है?

हाँ, इसे अक्सर वास्तुकला और डिजाइन में स्थिरता और सरल गणनाओं के लिए उपयोग किया जाता है। 30 60 90 त्रिकोण का उपयोग विभिन्न प्रकार के लेआउट, निर्माण और त्रि-आयामी आकृतियों के निर्माण में भी किया जाता है।

इस प्रकार के त्रिकोण का उपयोग करने के फायदे क्या हैं?

यह स्ट्रक्चरल डिजाइन में सरल गणनाओं की अनुमति देता है और परिणामों की सटीकता सुनिश्चित करता है।

45 45 90 त्रिकोण के लिए समान मानों की गणना कैसे करें?

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