45 45 90 त्रिकोण कैलकुलेटर

45 45 90 त्रिकोण क्या है?

45 45 90 त्रिकोण, जिसे समद्विबाहु समकोण त्रिकोण के रूप में भी जाना जाता है, अपनी अनूठी विशेषताओं के कारण ज्यामिति में विशेष रुचि का केंद्र है। यह एक प्रकार का विशेष त्रिकोण है जिसमें कोण 45°, 45°, और 90° मापते हैं। ऐसा त्रिकोण सममित होता है, इस प्रकार इसके दोनों पैर बराबर होते हैं।

विशेषताएँ

यह ज्यामितिक आकृति अपनी सरल लेकिन सुरुचिपूर्ण संरचना के कारण आकर्षक होती है। प्रमुख विशेषताओं में शामिल हैं:

• पैरों की समानता: 45 45 90 त्रिकोण में, पैर समान होते हैं, जो इसके आयामों का अध्ययन और गणना करने की प्रक्रिया को सरल बनाता है।

• भुजाओं के अनुपात: कर्ण की लंबाई एक पैर की लंबाई के समान होती है जिसे दो के वर्गमूल से गुणा किया गया है ($c = a\sqrt{2}$, जहां $a$ एक पैर की लंबाई है, और $c$ कर्ण की लंबाई है)।

• समकोण: कर्ण हमेशा 90° कोण के सामने होता है, जो त्रिकोणमिति का उपयोग करते समय महत्वपूर्ण होता है।

45 45 90 त्रिकोण की विशेषताएँ

• सममिति: कोणों और पैरों की समानता के कारण, यह त्रिकोण सममित होता है, जो इसके विश्लेषण को सरल बनाता है। यह त्रिकोण 90° कोण की द्विभाजक के बारे में सममित होता है, दर्पण प्रतिबिंब की विशेषताओं का उपयोग करने की अनुमति देता है।

• त्रिकोणमितीय कार्य: 45° कोणों के साइन और कोसाइन दोनों $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (या लगभग 0.7071) होते हैं।

• क्षेत्रफल और परिमाप: सरल अनुपात और सूत्रों के कारण क्षेत्रफल और परिमाप की भी आसानी से गणना की जाती है।

सूत्र

ज्ञात पैर के लिए सूत्र

यदि एक पैर $a$ ज्ञात है, तो हम कर्ण, क्षेत्रफल और परिमाप पा सकते हैं:

1. कर्ण: $c = a\sqrt{2}$
2. क्षेत्रफल: $\text{A} = \frac{a^2}{2}$
3. परिमाप: $\text{P} = 2a + a\sqrt{2}$

ज्ञात कर्ण के लिए सूत्र

यदि कर्ण $c$ ज्ञात है, तो हम पैर, क्षेत्रफल और परिमाप पा सकते हैं:

1. पैर: $a = \frac{c}{\sqrt{2}}$
2. क्षेत्रफल: $\text{A} = \frac{c^2}{4}$
3. परिमाप: $\text{P} = 2 \left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right) + c = c\left(1 + \frac{2}{\sqrt{2}}\right) = c(1 + \sqrt{2})$

ज्ञात क्षेत्रफल के लिए सूत्र

यदि क्षेत्रफल $A$ ज्ञात है, तो पैर, कर्ण और परिमाप की गणना की जा सकती है:

1. पैर: $a = \sqrt{2 \times \text{A}}$
2. कर्ण: $c = \sqrt{4 \times \text{A}}$
3. परिमाप: $\text{P} = 2a + c = 2\sqrt{2} \times \text{A} + \sqrt{4 \times \text{A}}$

ज्ञात परिमाप के लिए सूत्र

यदि परिमाप $P$ ज्ञात है, तो पैर, कर्ण और क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है:

1. पैर: $a = \frac{\text{P}}{2 + \sqrt{2}}$
2. कर्ण: $c = \sqrt{2} \times a$
3. क्षेत्रफल: $\text{A} = \frac{a^2}{2}$

उदाहरण

उदाहरण 1: ज्ञात पैर

मान लें कि त्रिकोण का एक पैर 5 सेमी है। कर्ण, क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात करें:

1. कर्ण: $c = 5\sqrt{2} \approx 7.07$ सेमी
2. क्षेत्रफल: $\text{A} = \frac{5^2}{2} = 12.5$ वर्ग सेमी
3. परिमाप: $\text{P} = 2 \times 5 + 5\sqrt{2} \approx 17.07$ सेमी

उदाहरण 2: ज्ञात कर्ण

यदि त्रिकोण का कर्ण 10 सेमी है, तो पैर, क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात करें:

1. पैर: $a = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx 7.07$ सेमी
2. क्षेत्रफल: $\text{A} = \frac{10^2}{4} = 25$ वर्ग सेमी
3. परिमाप: $\text{P} = 10 + 2 \times 7.07 \approx 24.14$ सेमी

उदाहरण 3: ज्ञात क्षेत्रफल

मान लें कि 45 45 90 त्रिकोण का क्षेत्रफल 18 वर्ग सेमी है। पैर की लंबाई, कर्ण और परिमाप ज्ञात करें:

1. पैर: $a = \sqrt{2 \times 18} = \sqrt{36} = 6$ सेमी
2. कर्ण: $c = 6\sqrt{2} \approx 8.49$ सेमी
3. परिमाप: $\text{P} = 2 \times 6 + 6\sqrt{2} \approx 20.49$ सेमी

उदाहरण 4: ज्ञात परिमाप

मान लें कि 45 45 90 त्रिकोण का परिमाप 24 सेमी है। पैर की लंबाई, कर्ण और क्षेत्रफल ज्ञात करें:

1. पैर: $a = \frac{24}{2 + \sqrt{2}} \approx 7.03$ सेमी
2. कर्ण: $c = 7.03 \cdot \sqrt{2} \approx 9.94$ सेमी
3. क्षेत्रफल: $\text{A} = \frac{7.03^2}{2} \approx 24.71$ वर्ग सेमी

नोट्स

• 45 45 90 त्रिकोण ज्यामिति और त्रिकोणमिति का एक बुनियादी तत्व है, जो अक्सर समस्या समाधान और मॉडल निर्माण में उपयोग किया जाता है।
• इसकी सरल समायोजन और अनुपात के कारण, यह त्रिकोण अक्सर वास्तुकला और डिज़ाइन में देखा जाता है, साथ ही प्राकृतिक रूपों और संरचनाओं में भी।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि कर्ण ज्ञात हो तो पैर को कैसे खोजें?

यदि कर्ण $c$ ज्ञात है, तो पैर $a$ को इस सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: $a = \frac{c}{\sqrt{2}}$।

क्यों कर्ण $a\sqrt{2}$ के बराबर होता है?

कर्ण $a\sqrt{2}$ के बराबर होता है क्योंकि इसका प्रमेय आवेदन और पैरों की समानता के लिए किया जाता है। प्रमेय कहता है: $c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, इसलिए $c = a\sqrt{2}$ होता है।

यदि पैर ज्ञात हो तो त्रिकोण का क्षेत्रफल कैसे खोजें?

यदि एक पैर $a$ ज्ञात है, तो क्षेत्रफल को इस सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: $\text{A} = \frac{a^2}{2}$।

क्या कोई त्रिकोण 45 45 90 से अलग कोणों वाला है, जिसमें वही गुण होते हैं?

नहीं, केवल 45 45 90 त्रिकोण में ही इस तरह के अद्वितीय गुण होते हैं जिनमें समान पैर और सरल संबंध होते हैं।

क्या 45 45 90 त्रिकोण का प्रयोग व्यावहारिक अनुप्रयोगों में किया जा सकता है?

हाँ, इसके सममिति और सरल गणनाओं के कारण, 45 45 90 त्रिकोण अक्सर निर्माण, डिज़ाइन परियोजनाओं और विभिन्न इंजीनियरिंग कार्यों में उपयोग किया जाता है।