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त्रिभुज कोण कैलकुलेटर

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त्रिभुज के कोण क्या होते हैं?

त्रिभुज के कोण वे कोण होते हैं जो त्रिभुज के दो पार्श्वों द्वारा बनाए जाते हैं। प्रत्येक त्रिभुज के तीन कोण होते हैं और इन कोणों का योग सदैव 180 डिग्री होता है। कोणों को α (अल्फा), β (बीटा), और γ (गामा) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

त्रिभुज कोण कैलकुलेटर एक ऑनलाइन टूल है जो अन्य कोणों और पार्श्वों की जानकारी के आधार पर त्रिभुज के कोणों की गणना की अनुमति देता है। त्रिभुज एक मौलिक ज्यामितीय स्वरूप हैं, और उनके कोणों और पार्श्वों की समझ सिद्धांतात्मक गणित और वास्तुकला और इंजीनियरिंग डिजाइन जैसे व्यावहारिक अनुप्रयोगों दोनों में महत्वपूर्ण है।

त्रिभुज कोणों के गुण

  1. कोणों का योग: जैसा कि पहले कहा गया है, किसी भी त्रिभुज के सभी तीन कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।
  2. कोणों के आधार पर एक त्रिभुज हो सकता है:
    • अधिककोणीय, यदि सभी कोण 90 डिग्री से कम हैं।
    • समकोणीय, यदि कोणों में से एक 90 डिग्री का है।
    • अधिक कोणीय, यदि कोणों में से एक 90 डिग्री से अधिक है।

सूत्र

त्रिभुज के कोणों की गणना ज्ञात डाटा पर निर्भर करती है। यदि दो कोण ज्ञात हैं, तो आम त्रिकोण के योग का नियम उपयोग किया जाता है; जब सभी किनारों की लंबाई ज्ञात हो, तो कोसाइन प्रमेय का उपयोग करना चाहिए, और यदि दो किनारे और उनके बीच का कोण ज्ञात है - तो साइन प्रमेय का उपयोग करें। आइए प्रत्येक गणना विकल्प को विस्तार से देखें:

सभी कोणों का योग

एक त्रिभुज में एक महत्वपूर्ण गुण होता है: इसके आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है। यह मूल गुण euclidian ज्यामिति से चलता है और कई अन्य ज्यामितीय गणनाओं की नींव है।

जब दो कोण शुरूआत में ज्ञात होते हैं, तो तीसरा कोण हमेशा समीकरण से ज्ञात किया जा सकता है:

γ=180αβ\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta

यह नियम त्रिभुज से संबंधित कई कार्यों के समाधान को सरल बनाता है और एक मूल गुण को प्रस्तुत करता है जिसका उपयोग अज्ञात कोणों को तेजी से खोजने के लिए किया जा सकता है।

कोसाइन प्रमेय

कोसाइन प्रमेय के पता नौ त्रिभुज के तीनों किनारों की लंबाई ज्ञात है तो कोणों की गणना करने की अनुमति देता है। यह बताता है कि किसी भी त्रिभुज के किसी भी पार्श्व की लंबाई का वर्ग अन्य दोनों पार्श्वों की लंबाईयों के वर्गों के योग के बराबर होता है और उन्हें बीच के कोण के कोसाइन से घटाकर दो बार उनके उठाए से उनके गुणन का उत्पाद होता है। कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके कोणों की गणना के लिए सूत्र:

cos(α)=b2+c2a22bc\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} cos(β)=a2+c2b22ac\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} cos(γ)=a2+b2c22ab\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

एक कोण के कोसाइन को ज्ञात करने के बाद, आप arccos फ़ंक्शन का उपयोग करके स्वयं कोण पा सकते हैं।

साइन प्रमेय

दो ज्ञात किनारों और उनके बीच के कोण वाले कोणों की गणना करने के लिए, आप साइन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं। यह बताता है कि किसी भी त्रिभुज के विपरीत कोण के साइन के लिए किसी भी पार्श्व की लंबाई का अनुपात सभी तीन किनारों के लिए समान होता है:

asin(α)=bsin(β)=csin(γ)\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}

उदाहरण

उदाहरण 1: दो ज्ञात कोणों के साथ एक कोण की गणना

मान लीजिए हमारे पास एक त्रिभुज है जहाँ α=50\alpha = 50^\circ और β=60\beta = 60^\circ है। फिर कोण γ\gamma:

γ=1805060=70\gamma = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ

उदाहरण 2: तीन पक्षों के साथ एक कोण की गणना

a=7a = 7, b=10b = 10, c=5c = 5 के साथ एक त्रिभुज पर विचार करें। कोण α की गणना करें:

cos(α)=102+52722105=100+2549100=76100=0.76\cos(\alpha) = \frac{10^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{100 + 25 - 49}{100} = \frac{76}{100} = 0.76

अब कोण α खोजें:

α=arccos(0.76)40.54\alpha = \arccos(0.76) \approx 40.54^\circ

उदाहरण 3: दो पक्ष और कोण के साथ कोणों की गणना

मान लीजिए कि पक्ष a=6a = 6, b=8b = 8, और उनके बीच का कोण α=45\alpha = 45^\circ ज्ञात हैं। फिर कोण β खोजने के लिए:

6sin(45)=8sin(β)\frac{6}{\sin(45^\circ)} = \frac{8}{\sin(\beta)}

sin(β)\sin(\beta) के लिए हल:

sin(β)=8sin(45)6=8226=426=223\sin(\beta) = \frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{6} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

कोण β खोजें:

β=arcsin(223)73.74\beta = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 73.74^\circ

नोट्स

  1. Arccos और arcsin का उपयोग करते समय, सुनिश्चित करें कि परिणाम अनुमेय कोणों की सीमा (0-180 डिग्री) के भीतर आते हैं।
  2. उन मामलों में जहां त्रिभुज को निर्दिष्ट मापदंडों के साथ नहीं बनाया जा सकता है, परिणाम वास्तविक कोणों के मूल्यों के साथ मेल नहीं खा सकते हैं।
  3. सुनिश्चित करें कि इनपुट डेटा सही और त्रिभुज निर्माण के लिए अनुमेय है, क्योंकि गलत डेटा गणना त्रुटियों का कारण बनेगा।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि दो कोण दिए गए हैं तो त्रिभुज के तीसरे कोण को कैसे खोजें?

यदि दो कोण α\alpha और β\beta ज्ञात हैं, तो तीसरा कोण γ\gamma सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है:

γ=180αβ\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta

त्रिभुज की तीनों पक्षों के ज्ञात होने पर कोणों की गणना कैसे की जाती है?

तीन पक्षों के ज्ञात होने पर कोणों की गणना के लिए, कॉसाइन प्रमेय का उपयोग किया जाता है। सूत्र का उपयोग करके:

cos(α)=b2+c2a22bc\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

फिर arccos का उपयोग करके कोण α को ज्ञात करना।

यदि कोणों की गणना असम्भव हो तो क्या करें?

यदि कैलकुलेशन असंभव है (जैसे कि पक्ष त्रिकोण की असमानता का उल्लंघन करते हैं), तो दर्ज किए गए डेटा की दोबारा जाँच करें। यह संभव है कि ऐसे मापदंड एक त्रिभुज नहीं बना सकते।

त्रिभुज abcabc, कोण ac\angle ac कैसे खोजें?

यदि त्रिभुज के पार्श्व a,ba, b और cc हैं, तो कोण ac\angle ac को खोजने के लिए, निम्नलिखित गणनाएँ लागू करें:

कोण γ\gamma की गणना के लिए कोसाइन प्रमेय का उपयोग करें:

cos(γ)=a2+b2c22ab\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

के बाद cos(γ)\cos(\gamma) की गणना करें, और स्वयं कोण γ\gamma को खोजने के लिए arccos का उपयोग करें:

γ=arccos(a2+b2c22ab)\gamma = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)

क्या यह कैलकुलेटर समकोण त्रिभुजों के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है?

हाँ, यह कैलकुलेटर समकोण त्रिभुजों के लिए भी उपयुक्त है। ज्ञात आधार और एक पैर के लिए, आप त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके कोणों में से एक को पा सकते हैं।

एक त्रिभुज में कोण 90 डिग्री है, तो अन्य कोण कैसे खोजें?

यदि एक समकोण त्रिभुज का एक कोण 90 डिग्री है, तो इस कैलकुलेटर के अलावा आप विशेष समकोण त्रिभुज कोण कैलकुलेटर का भी इस्तेमाल कर सकते हैं।