त्रिभुज ऊँचाई कैलकुलेटर

त्रिभुज की ऊँचाई क्या है?

त्रिभुज की ऊँचाई, जिसे कभी-कभी ऊर्ध्वाधर रेखा कहा जाता है, एक रेखा खंड होता है जो त्रिभुज के आधार के लंबवत होता है और विपरीत शीर्ष तक फैला होता है। ऊँचाई त्रिभुज से जुड़े ज्यामितीय समस्याओं और गणनाओं को हल करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है क्योंकि यह त्रिभुज के क्षेत्रफल का निर्धारण करने में सहायक होता है। त्रिभुज के प्रकार, ज्ञात चर और आवश्यक गणना के आधार पर ऊँचाई का तारीका भिन्न हो सकता है।

विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों में ऊँचाई की गणना करना

विभिन्न त्रिभुजों में ऊँचाई की गणना कैसे करें, यह समझने के लिए, दिए गए मूल्यों और जिस प्रकार के त्रिभुज का आप सामना कर रहे हैं, उसे जानना आवश्यक है। चलिए साधारण, समकोण, समद्विभुज और समबाहु त्रिभुजों के लिए विशिष्ट सूत्र और तरीकों का उपयोग करके ऊँचाई का निर्धारण कैसे करें, इसे खोजते हैं।

साधारण त्रिभुज

एक साधारण त्रिभुज में जिसके की भुजाएँ $a$, $b$, और $c$ होती हैं:

1. क्षेत्रफल और आधार का उपयोग करके:

   • यदि क्षेत्रफल $A$ और आधार $b$ ज्ञात हों, तो ऊँचाई $h$ इस प्रकार से गणना की जा सकती है: $$h = \frac{2A}{b}$$

2. भुजाएँ का उपयोग करके:

   • एक त्रिभुज की बेस $b$ की ओर छोड़ी गई ऊँचाई $h$ (जिसकी ज्ञात भुजाएँ $a$, $b$ और $c$ हैं) को एक सूत्र के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है: $$h = \frac{2}{b} \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ जहाँ $p$ त्रिभुज का अर्ध-परिधि है: $$p = \frac{a + b + c}{2}$$

समकोण त्रिभुज

एक समकोण त्रिभुज में, जिनकी टाँगें $a$ और $b$, और कर्ण $c$ होते हैं, टाँगें और कर्ण ज्ञात होने पर, समकोण के शीर्ष से कर्ण तक खींची गई ऊँचाई का सूत्र:

$$h = \frac{a \cdot b}{c}$$

समद्विभुज त्रिभुज

एक समद्विभुज त्रिभुज में, जिसकी दो समान भुजाएँ $a$, आधार $b$, और शीर्ष कोण $\beta$ होता है, ऊँचाई इस प्रकार से गणना की जा सकती है:

$$h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

समबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज के लिए, जहाँ प्रत्येक भुजा $a$ है, ऊँचाई इस प्रकार से गणना की जा सकती है:

$$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$

उदाहरण

उदाहरण 1: साधारण त्रिभुज की ऊँचाई

एक त्रिभुज जिसका ज्ञात क्षेत्रफल 36 वर्ग इकाइयाँ है और आधार 12 इकाइयाँ है, की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए:

$$h = \frac{2 \cdot 36}{12} = 6 \text{ इकाइयाँ}$$

उदाहरण 2: समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई

एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा लंबाई 8 इकाइयाँ है:

$$h = \frac{8 \cdot \sqrt{3}}{2} \approx 6.93 \text{ इकाइयाँ}$$

उदाहरण 3: समकोण त्रिभुज की ऊँचाई

एक समकोण त्रिभुज जिसका कर्ण 13 इकाइयाँ है और टाँगें 5 और 12 इकाइयाँ हैं:

$$h = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \approx 4.62 \text{ इकाइयाँ}$$

नोट्स

• सदैव सुनिश्चित करें कि कोण सही माप में हों, जैसे कि डिग्री या रेडियन, जब त्रिकोणमितीय गणनाएँ की जाती हैं।
• माप की आधार रेखा महत्वपूर्ण होती है; ऊँचाई और आधार पर विचार करते समय सुनिश्चित करें कि यह लंबवत हो।
• प्राथमिक त्रिकोणमितीय कार्यों (साइन, कोसाइन, टैन्जेंट) से परिचित होना आवश्यक होता है ताकि सूत्रों का सही ढंग से लागू किया जा सके।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि क्षेत्रफल 50 है और आधार 10 है तो त्रिभुज की ऊँचाई कैसे ज्ञात करें?

सूत्र है $h = \frac{2 \times \text{A}}{\text{b}}$। मूल्यों का उपयोग करते हुए:

$$h = \frac{2 \times 50}{10} = 10 \text{ इकाइयाँ}$$

7 इकाइयों का पक्षी समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई क्या है?

सूत्र का उपयोग करें $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$:

$$h = \frac{7 \sqrt{3}}{2} \approx 6.06 \text{ इकाइयाँ}$$

यदि समद्विभुज त्रिभुज की भुजाएँ 5 इकाइयाँ और आधार 6 इकाइयाँ हैं तो क्या होगा?

उपयोग करें $h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$:

$$h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{6}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ इकाइयाँ}$$

यदि आपको समद्विभुज त्रिभुज की ऊँचाई गिरावट से आधार तक ज्ञात करने की आवश्यकता हो, तो समद्विभुज त्रिभुज ऊँचाई कैलकुलेटर का उपयोग करें।

विभिन्न कोणों के साथ एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई कैसे बदलती है?

कर्ण पर सापेक्ष रूप से गणना की जाने वाली ऊँचाई कोण के साइन पर निर्भर करता है। यदि कोण बढ़ता या घटता है, तो साइन मान बदलता है जिससे ऊँचाई में परिवर्तन होता है।

क्या त्रिभुज में ऊँचाई हमेशा आधार के लंबवत होती है?

हाँ, परिभाषा के अनुसार, ऊँचाई (ऊर्ध्वाधर रेखा) त्रिभुज के आधार के लंबवत होनी चाहिए, यह त्रिभुज की ज्यामिति अध्ययन में एक आवश्यक खंड बनाता है।