Kalkulator keliling ellips

Apa itu keliling ellips?

Keliling ellips adalah panjang batasnya. Sebuah ellips adalah figur geometris yang mempergenalisi lingkaran dan didefinisikan oleh dua sumbu: sumbu mayor (a) dan sumbu minor (b). Karena bentuknya, menemukan keliling ellips adalah tugas yang lebih kompleks dibandingkan menghitung keliling lingkaran. Tidak ada satu rumus pun untuk menghitung keliling ellips secara tepat dengan menggunakan cara-cara dasar, dan oleh karena itu, berbagai rumus pendekatan digunakan.

Salah satu rumus pendekatan yang paling terkenal untuk menghitung keliling ellips adalah rumus Ramanujan. Matematikawan India Srinivasa Ramanujan mengusulkan rumus ini di awal abad ke-20, dan sejak itu memperoleh penerapan luas karena keakuratan pendekatannya. Rumus ini menggambarkan bagaimana ellips dapat dipertimbangkan dalam konteks masalah geometris dan perhitungan sehari-hari.

Sejarah rumus Ramanujan

Rumus Ramanujan untuk perhitungan keliling ellips secara pendekatan diusulkan pada awal tahun 1900-an. Srinivasa Ramanujan, seorang matematikawan India yang terkenal, mengembangkan rumus ini setelah banyak eksperimen dan analisis berbagai metode pendekatan. Pendekatannya secara signifikan menyederhanakan perhitungan panjang ellips dengan akurasi tinggi tanpa memerlukan alat matematika yang rumit.

Rumus ini dipublikasikan dalam salah satu suratnya kepada G.H. Hardy, dengan siapa Ramanujan menjalin kolaborasi profesional. Meskipun rumus itu sendiri merupakan pendekatan, namun telah membuktikan keefektifannya dalam banyak aplikasi praktis, memberikan hasil dengan presisi tinggi.

Penerapan rumus dan keakuratannya

Meskipun rumus Ramanujan bukan satu-satunya yang tersedia, nilainya terletak pada kesederhanaan dan kemudahan untuk perhitungan. Ini digunakan dalam berbagai tugas teknik dan ilmiah di mana pengetahuan tentang keliling ellips diperlukan, seperti dalam arsitektur, teknik mesin, dan astronomi.

Rumus Ramanujan menghindari penggunaan integral kompleks dan persamaan diferensial yang diperlukan untuk perhitungan kurva ellips secara tepat. Namun, untuk perhitungan yang paling akurat, metode komputasi yang lebih kompleks, seperti integrasi numerik, dapat digunakan.

Formula

Rumus Ramanujan untuk menghitung keliling ellips secara pendekatan adalah sebagai berikut:

$$P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]$$

di mana $a$ adalah semi-sumbu mayor dari ellips, dan $b$ adalah semi-sumbu minor dari ellips.

Rumus ini memungkinkan keliling dihitung berdasarkan operasi aritmatika dasar dan fungsi akar kuadrat.

Contoh

Contoh 1
Untuk sebuah ellips dengan semi-sumbu mayor $a = 5$ dan semi-sumbu minor $b = 3$, kelilingnya dihitung secara pendekatan sebagai:

$$P \approx \pi \left[3(5+3) - \sqrt{(3 \times 5 + 3)(5 + 3 \times 3)}\right]$$

Menghitung menghasilkan:

$$P \approx \pi \left[24 - \sqrt{(15+3)(5+9)}\right]$$ $$P \approx \pi \left[24 - \sqrt{18 \times 14}\right]$$ $$P \approx \pi \left[24 - 15.3\right] \approx 25.53$$

Contoh 2
Misalkan $a = 10$ dan $b = 7$, hitung keliling ellips:

$$P \approx \pi \left[3(10+7) - \sqrt{(3 \times 10 + 7)(10 + 3 \times 7)}\right]$$ $$P \approx \pi \left[51 - \sqrt{(30+7)(10+21)}\right]$$ $$P \approx \pi \left[51 - \sqrt{37 \times 31}\right]$$ $$P \approx \pi \left[51 - 34.06\right] \approx 53.82$$

Catatan

Rumus Ramanujan cukup untuk sebagian besar kebutuhan praktis, tetapi keakuratannya mungkin berkurang untuk ellips yang sangat memanjang, di mana rasio antara sumbu mayor dan minor sangat berbeda.

Untuk fleksibilitas dan keakuratan yang lebih besar, terutama untuk aplikasi profesional, metode yang lebih kompleks, seperti integrasi numerik, dapat digunakan untuk menghitung spesifik model matematika ellips.

FAQ

Mengapa rumus ini hanya merupakan pendekatan?

Rumus Ramanujan memperkirakan keliling karena geometri ellips tidak memiliki solusi elemen tepat untuk panjang kelilingnya.

Bagaimana cara menemukan keliling ellips, mengingat panjang semi-sumbu adalah 2,5 dan 3,5 cm?

Menggunakan rumus Ramanujan:

$$P \approx \pi \left[3(2.5+3.5) - \sqrt{(3 \times 2.5 + 3.5)(2.5 + 3 \times 3.5)}\right]$$ $$P \approx \pi \left[18 - \sqrt{11 \times 13.5}\right]$$ $$P \approx \pi \left[18 - \sqrt{148.5}\right]$$ $$P \approx \pi \left[18 - 12.19\right] \approx 18.98$$

Apakah nilai semi-sumbu dari ellips cukup untuk menghitung luasnya?

Ya, nilai semi-sumbu $a$ dan $b$ cukup untuk menghitung luas ellips. Rumus untuk luas ellips adalah: $A = \pi \cdot a \cdot b$. Untuk kenyamanan, Anda dapat menggunakan kalkulator luas ellips.

Istilah yang mana yang benar: lingkar keliling ellips atau keliling ellips?

Istilah yang benar adalah “keliling ellips.” Istilah “lingkar keliling” secara tradisional digunakan untuk konsep yang terkait dengan lingkaran, sedangkan ellips bukanlah lingkaran pada umumnya.