Kalkulator volume tetrahedron

Apa itu tetrahedron?

Tetrahedron adalah polihedron tiga dimensi dengan empat wajah segitiga, enam tepi, dan empat titik puncak. Ini adalah yang paling sederhana dari semua polihedron cembung biasa. Tetrahedron beraturan memiliki panjang semua tepi yang sama, dan semua wajahnya adalah segitiga sama sisi. Sebaliknya, tetrahedron tidak beraturan memiliki tepi dengan panjang yang berbeda-beda dan wajah yang mungkin berupa segitiga sembarang atau sama kaki. Tetrahedron adalah salah satu dari lima padatan Platonik dan telah dipelajari sejak zaman dahulu, dengan referensi yang berasal dari matematikawan Yunani kuno seperti Euclid.

Rumus untuk menghitung volume tetrahedron

Volume menggunakan luas dasar dan tinggi

Untuk setiap tetrahedron, jika luas dasarnya $A$ dan tingginya $h$ (jarak tegak lurus dari dasar ke titik puncak yang berlawanan) diketahui, maka volumenya adalah:

Rumus ini mirip dengan volume piramida dan berlaku secara universal untuk semua tetrahedron, baik beraturan maupun tidak beraturan.

Rumus volume tetrahedron beraturan

Untuk tetrahedron beraturan dengan panjang tepi $a$, volumenya $V$ dihitung menggunakan:

atau juga dapat ditulis dalam bentuk:

Rumus ini berasal dari hubungan antara panjang tepi dan tinggi tetrahedron, memanfaatkan simetri geometris.

Rumus volume tetrahedron tidak beraturan

Untuk tetrahedron tidak beraturan yang didefinisikan oleh titik puncak $A, B, C, D$, volume dapat dihitung menggunakan triple product vektor skalar dari vektor-vektor yang berasal dari satu titik puncak. Jika vektor $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, dan $\vec{AD}$ diketahui, maka volumenya adalah:

Metode ini berlaku untuk setiap tetrahedron, tanpa memandang simetri.

Contoh perhitungan volume

Contoh 1: Tetrahedron beraturan

Masalah: Hitung volume tetrahedron beraturan dengan panjang tepi 5 cm.
Solusi:
Substitusikan $a = 5$ ke dalam rumus:

Contoh 2: Tetrahedron tidak beraturan

Masalah: Temukan volume tetrahedron dengan titik puncak di $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$, $C(0, 3, 0)$, dan $D(0, 0, 4)$.
Solusi:

1. Definisikan vektor dari titik puncak $A$: $$\vec{AB} = (2, 0, 0), \quad \vec{AC} = (0, 3, 0), \quad \vec{AD} = (0, 0, 4)$$
2. Hitung cross product $\vec{AC} \times \vec{AD}$: $$\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (12, 0, 0)$$
3. Hitung dot product $\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})$: $$(2, 0, 0) \cdot (12, 0, 0) = 2 \times 12 + 0 + 0 = 24$$
4. Hitung volume: $$V = \frac{1}{6} \times |24| = 4 \, \text{unit}^3$$

Contoh 3: Volume menggunakan luas dasar dan tinggi

Masalah: Sebuah tetrahedron memiliki alas segitiga dengan luas 24 cm². Tinggi dari alas ke titik puncak yang berlawanan adalah 9 cm. Berapa volumenya?
Solusi:
Menggunakan rumus $V = \frac{1}{3} A h$:

Catatan

1. Untuk tetrahedron tidak beraturan, pastikan vektor didefinisikan dari titik puncak yang sama.
2. Satuan harus konsisten (misalnya, semua tepi dalam sentimeter).
3. Rumus volume tetrahedron beraturan adalah kasus khusus dari metode triple product vektor skalar secara umum.
4. Rumus $V = \frac{1}{3} A h$ sangat berguna ketika bentuk alas diketahui tetapi tetrahedron tidak beraturan.
5. Kalkulator online mengotomatisasi perhitungan ini, mengurangi kesalahan manual.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Bagaimana panjang tepi mempengaruhi volume tetrahedron beraturan?

Volume tetrahedron beraturan sebanding dengan pangkat tiga dari panjang tepinya. Misalnya, menggandakan panjang tepi akan meningkatkan volumenya sebanyak $2^3 = 8$ kali.

Dapatkah volume tetrahedron tidak beraturan menjadi nol?

Ya. Jika empat titik puncak terletak pada bidang yang sama, triple product vektor skalar menjadi nol, menghasilkan volume nol.

Apa perbedaan antara tetrahedron beraturan dan tidak beraturan?

Tetrahedron beraturan memiliki semua tepinya sama dan wajahnya berbentuk segitiga sama sisi, sedangkan tetrahedron tidak beraturan memiliki tepi dengan panjang yang berbeda dan wajah yang tidak berbentuk segitiga sama sisi.

Bagaimana cara menggunakan triple product vektor skalar untuk menghitung volume?

1. Pilih satu titik puncak sebagai titik asal.
2. Hitung vektor dari titik asal ini ke tiga titik puncak lainnya.
3. Hitung triple product vektor skalar dari vektor-vektor ini.
4. Bagilah hasil absolut dengan 6 untuk mendapatkan volumenya.

Mengapa penyebutnya $6\sqrt{2}$ dalam rumus tetrahedron beraturan?

Istilah $\sqrt{2}$ muncul dari hubungan Pythagorean dalam geometri tetrahedron, dan penyebut 6 menskalakan hasilnya agar sesuai dengan volume unit.