Penghitung sudut segitiga

Apa itu sudut segitiga?

Sudut segitiga adalah sudut yang dibentuk oleh dua sisi segitiga. Setiap segitiga memiliki tiga sudut, dan jumlah dari ketiga sudut ini selalu 180 derajat. Sudut dapat dinyatakan sebagai α (alpha), β (beta), dan γ (gamma).

Penghitung sudut segitiga adalah alat online yang memungkinkan Anda menghitung sudut segitiga berdasarkan informasi yang diketahui tentang sudut dan sisi lainnya. Segitiga adalah bentuk geometris fundamental, dan memahami sudut serta sisinya penting dalam matematika teoretis maupun aplikasi praktis seperti desain arsitektur dan rekayasa.

Properti sudut segitiga

1. Jumlah sudut: Seperti disebutkan sebelumnya, jumlah ketiga sudut setiap segitiga selalu 180 derajat.
2. Bergantung pada sudutnya, sebuah segitiga bisa jadi:
   • Siku-siku tajam, jika semua sudutnya kurang dari 90 derajat.
   • Siku-siku, jika salah satu sudutnya 90 derajat.
   • Siku-siku tumpul, jika salah satu sudutnya lebih dari 90 derajat.

Rumus

Perhitungan sudut segitiga bergantung pada data yang diketahui. Jika dua sudut diketahui, aturan umum dari jumlah semua sudut segitiga digunakan; ketika panjang semua sisi diketahui, digunakan teorema kosinus, dan jika dua sisi dan sudut di antara mereka diketahui - digunakan teorema sinus. Mari kita uraikan masing-masing opsi perhitungan:

Jumlah semua sudut

Sebuah segitiga memiliki properti penting: jumlah sudut dalamnya selalu 180 derajat. Properti fundamental ini berasal dari geometri Euclidean dan menjadi dasar dari banyak perhitungan geometris lainnya.

Ketika dua sudut awalnya diketahui, sudut ketiga selalu dapat dihitung dari persamaan:

$$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$$

Aturan ini menyederhanakan penyelesaian banyak tugas yang berkaitan dengan segitiga dan mewakili properti dasar yang dapat digunakan untuk dengan cepat menemukan sudut yang tidak diketahui.

Teorema kosinus

Teorema kosinus memungkinkan Anda untuk menghitung sudut jika panjang ketiga sisi segitiga diketahui. Ini menyatakan bahwa kuadrat dari panjang sisi manapun dari segitiga sama dengan jumlah dari kuadrat panjang dua sisi lainnya dikurangi dua kali hasil kali panjang sisi-sisi ini dikalikan dengan kosinus dari sudut di antara mereka. Rumus untuk menghitung sudut menggunakan teorema kosinus:

$$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$ $$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$ $$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Setelah menemukan kosinus dari sudut, Anda dapat menggunakan fungsi arccos untuk menemukan sudut itu sendiri.

Teorema sinus

Untuk menghitung sudut dengan dua sisi yang diketahui dan sudut di antara mereka, Anda dapat menggunakan teorema sinus. Ini menyatakan bahwa rasio panjang sisi dengan sinus dari sudut yang berlawanan adalah sama untuk ketiga sisi segitiga:

$$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$$

Contoh

Contoh 1: Menghitung sudut dengan dua sudut yang diketahui

Misalnya kita memiliki segitiga di mana $\alpha = 50^\circ$ dan $\beta = 60^\circ$. Maka sudut $\gamma$:

$$\gamma = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$$

Contoh 2: Menghitung sudut dengan tiga sisi

Misalkan sebuah segitiga dengan sisi $a = 7$, $b = 10$, $c = 5$. Hitung sudut α:

$$\cos(\alpha) = \frac{10^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{100 + 25 - 49}{100} = \frac{76}{100} = 0.76$$

Sekarang cari sudut α:

$$\alpha = \arccos(0.76) \approx 40.54^\circ$$

Contoh 3: Menghitung sudut dengan dua sisi dan sudut di antara mereka

Misalkan sisi $a = 6$, $b = 8$, dan sudut di antara mereka $\alpha = 45^\circ$ diketahui. Maka untuk menemukan sudut β:

$$\frac{6}{\sin(45^\circ)} = \frac{8}{\sin(\beta)}$$

Selesaikan untuk $\sin(\beta)$:

$$\sin(\beta) = \frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{6} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Temukan sudut β:

$$\beta = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 73.74^\circ$$

Catatan

1. Saat menggunakan arccos dan arcsin, pastikan hasil berada dalam kisaran sudut yang diizinkan (0-180 derajat).
2. Dalam kasus di mana segitiga tidak dapat terbentuk dengan parameter yang diberikan, hasil mungkin tidak sesuai dengan nilai sudut yang nyata.
3. Pastikan data input benar dan dapat diterima untuk konstruksi segitiga, karena data yang salah akan menyebabkan kesalahan perhitungan.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana menemukan sudut ketiga dari segitiga jika dua sudut diberikan?

Jika dua sudut $\alpha$ dan $\beta$ diketahui, sudut ketiga $\gamma$ dapat ditemukan dengan rumus:

$$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$$

Bagaimana sudut dihitung jika tiga sisi segitiga diketahui?

Untuk menemukan sudut ketika tiga sisi diketahui, digunakan teorema kosinus. Menggunakan rumus:

$$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

dan arccos untuk menemukan sudut α.

Apa yang harus dilakukan jika perhitungan sudut tidak mungkin?

Jika perhitungan tidak mungkin (misalnya, sisi melanggar ketidaksetaraan segitiga), periksa kembali data yang dimasukkan. Ada kemungkinan bahwa parameter seperti itu tidak bisa membentuk segitiga.

Segitiga $abc$, bagaimana menemukan sudut $\angle ac$?

Jika sisi segitiga adalah $a, b$, dan $c$, untuk menemukan sudut $\angle ac$, lakukan perhitungan berikut:

Gunakan teorema kosinus untuk menghitung sudut $\gamma$:

$$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Setelah menghitung $\cos(\gamma)$, gunakan arccos untuk menemukan sudut $\gamma$:

$$\gamma = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

Apakah penghitung ini dapat digunakan untuk segitiga siku-siku?

Ya, penghitung ini juga cocok untuk segitiga siku-siku. Untuk sisi hipotenusa dan satu kaki yang diketahui, Anda dapat menemukan salah satu sudut dengan menggunakan fungsi trigonometri.

Dalam sebuah segitiga, sudutnya 90 derajat, bagaimana menemukan sudut lainnya?

Jika salah satu sudut dari segitiga siku-siku adalah 90 derajat, selain dari penghitung ini, Anda juga dapat menggunakan penghitung sudut segitiga siku-siku khusus.