Calcolatore di triangoli isoscele

Che cos’è un triangolo isoscele?

Un triangolo isoscele è una figura geometrica caratterizzata dall’avere due lati uguali noti come gambe. Il terzo lato, che non è uguale agli altri due, è chiamato base. Una proprietà degna di nota dei triangoli isoscele è che gli angoli opposti ai lati uguali, noti come angoli di base, sono anch’essi uguali. L’angolo tra i due lati uguali è chiamato angolo del vertice. Grazie alla loro simmetria, i triangoli isoscele sono ampiamente utilizzati nella geometria e possiedono numerose proprietà interessanti e teoremi associati.

Cosa può calcolare questo calcolatore?

Questo calcolatore può calcolare l’area e il perimetro di un triangolo isoscele se sono note le lunghezze delle gambe e della base, o se sono fornite la base e l’altezza. Può anche calcolare queste metriche se è noto un lato e l’angolo del vertice. Per calcolare altri parametri del triangolo isoscele, potete utilizzare calcolatori aggiuntivi per i lati, la base, l’altezza e gli angoli.

Termini chiave e notazioni

• Gambe ($a$): i due lati uguali del triangolo.
• Base ($b$): il lato che è diverso dalle gambe, situato di fronte al vertice.
• Altezza dal vertice ($h_1$): Una perpendicolare che scende dal vertice alla base (agisce anche come mediana e bisettrice).
• Altezza alle gambe ($h_2$): Una perpendicolare che scende dall’angolo di base al lato opposto.
• Angolo del vertice ($\beta$): l’angolo tra i due lati uguali.
• Angoli di base ($\alpha$): Gli angoli situati alle estremità della base.
• Perimetro ($P$): La somma delle lunghezze di tutti i lati del triangolo.
• Area ($S$): Lo spazio chiuso dai lati del triangolo.

Proprietà di un triangolo isoscele

1. Uguaglianza delle gambe: Le gambe (denotate come $a$) sono uguali in lunghezza.
2. Uguaglianza degli angoli di base: Gli angoli di base (denotati come $\alpha$) sono uguali.
3. Portatore di mediana, altezza e bisettrice: Dal vertice, altezza, mediana e bisettrice coincidono e formano un angolo retto con la base.
4. Uguaglianza delle altezze alle gambe: Le altezze dagli angoli di base ai lati opposti sono uguali.
5. Uguaglianza dei bisettrici degli angoli di base: I bisettrici degli angoli di base sono uguali.

Formule

Ecco le formule di base per calcolare l’area e il perimetro di un triangolo isoscele:

1. Area ($S$):

   Conoscendo le gambe e la base:

   $$A = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$$

   Conoscendo la base e l’altezza:

   $$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$$

   Conoscendo una gamba e l’angolo del vertice:

   $$A = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$$

2. Perimetro ($P$):

   $$P = 2a + b$$

   Se sono note la base $b$ e l’altezza $h_1$, sostituiamo $a$ nella formula del perimetro:

   $$a = \sqrt{h_1^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

   Se sono noti la gamba $a$ e l’angolo del vertice $\beta$, sostituiamo $b$ con:

   $$b = 2a \cdot \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$$

Esempi

Esempio di calcolo dell’area

Esempio 1: Trova l’area di un triangolo isoscele con una lunghezza della gamba di $a = 5$ cm e una lunghezza della base di $b = 6$ cm.

Utilizzando la formula:

$$S = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$$

Sostituire i valori noti:

$$S = \frac{1}{4} \cdot 6 \cdot \sqrt{4 \times 5^2 - 6^2} = 12 \text{ cm}^2$$

Esempio 2: Trova l’area di un triangolo isoscele con una base di $b = 8$ cm e altezza $h_1 = 5$ cm.

Utilizzando la formula:

$$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$$

Sostituire i valori noti:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20 \text{ cm}^2$$

Esempio 3: Trova l’area di un triangolo isoscele con una gamba $a = 7$ cm e un angolo del vertice $\beta = 45^\circ$.

Utilizzando la formula:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$$

Sostituire i valori noti:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 7^2 \cdot \sin(45^\circ) \approx 17.32 \text{ cm}^2$$

Esempio di calcolo del perimetro

Esempio 1: Se la base di un triangolo isoscele è di 8 cm e la sua altezza è di 6 cm, trova il perimetro.

1. Calcolare la gamba:

   $$a = \sqrt{6^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \approx 7.21 \text{ cm}$$

2. Perimetro ($P$):

   $$P = 2 \times 7.21 + 8 = 22.42 \text{ cm}$$

Esempio 2: Se la gamba di un triangolo isoscele è di 10 cm e l’angolo del vertice è di 60º, trova il perimetro.

1. Calcolare la base:

   $$b = 2 \times 10 \cdot \sin\left(30º\right) = 20 \times 0.5 = 10 \text{ cm}$$

2. Perimetro ($P$):

   $$P = 2 \times 10 + 10 = 30 \text{ cm}$$

Note

• Un triangolo isoscele può essere un triangolo equilatero se tutti i lati sono uguali.
• L’altezza funge anche da mediana e bisettrice grazie alla sua simmetria.
• Le funzioni trigonometriche sono spesso utilizzate per calcolare angoli e altezze.

Domande frequenti

Come si calcola l’area di un triangolo isoscele?

L’area di un triangolo isoscele può essere calcolata in vari modi:

• Conoscendo la base e l’altezza: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$
• Conoscendo la gamba e l’angolo del vertice: $S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$
• Conoscendo la base e una gamba: $S = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$

Sono tutte le altezze in un triangolo isoscele uguali?

No, l’altezza dal vertice è uguale alla mediana e bisettrice alla base, mentre le altezze dagli angoli di base ai lati opposti sono uguali tra loro.

Come trovare il perimetro di un triangolo isoscele se la gamba è 7 cm e la base è 10,5 cm?

Utilizzare la formula: $P = 2a + b$.

In questo caso, $a = 7$, $b = 10.5$; pertanto, $P = 2 \times 7 + 10.5 = 24.5 \text{ cm}$.

Quali dati sono necessari per calcolare il perimetro di un triangolo isoscele?

Per calcolare il perimetro, la lunghezza della base e una gamba è sufficiente. L’altezza o gli angoli possono anche essere usati in calcoli combinati.

La formula di Erone può essere utilizzata per calcolare l’area di un triangolo isoscele?

La formula di Erone può certamente essere utilizzata per determinare l’area se tutti i lati del triangolo sono noti. È applicabile ai triangoli isoscele così come a qualsiasi altro triangolo.