Calcolatore dell'altezza del triangolo isoscele

Che cosa è l’altezza di un triangolo isoscele

L’altezza di un triangolo isoscele è una linea perpendicolare tracciata dal vertice (il punto in cui si incontrano i due lati uguali) alla base, o estensione della base, del triangolo. In un triangolo isoscele, due lati sono uguali in lunghezza (noti come lati laterali), mentre il terzo lato è la base. L’altezza dal vertice alla base biseca la base, creando due segmenti uguali, e funge da bisettrice dell’angolo al vertice. Puoi usare il nostro calcolatore di triangolo isoscele per calcolare la sua area e il suo perimetro.

Caratteristiche delle altezze in un triangolo isoscele

In un triangolo isoscele, l’altezza tracciata dal vertice alla base presenta diverse caratteristiche degne di nota:

• Divide la base in due parti uguali.
• Funziona come la mediana del triangolo.
• È la bisettrice dell’angolo al vertice.
• È perpendicolare alla base.

L’altezza da un angolo della base a un lato laterale ha le sue caratteristiche:

• È uguale all’altezza dall’angolo della base opposto.
• Forma un angolo retto con il lato laterale.
• Divide il lato laterale in segmenti disuguali.

Formule per calcolare le altezze

Altezza dal vertice (h₁)

1. Usando il lato laterale e la base: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$

2. Usando l’area e la base: $h_1 = \frac{2S}{b}$

3. Usando l’angolo della base e il lato laterale: $h_1 = a \sin{\alpha}$

Altezza dall’angolo della base (h₂)

1. Usando l’angolo del vertice e il lato laterale: $h_2 = a \sin{\beta}$

2. Usando il lato laterale e la base. Per iniziare, utilizzeremo la formula per l’altezza dal vertice: $h_2 = a \sin{\beta}$ dove il calcolo per l’angolo $\beta$ viene eseguito come: $\beta = 180° - 2\alpha$, con $\alpha=\arccos{\left(\frac{b}{2a}\right)}$

3. Usando l’area e il lato laterale: $h_2 = \frac{2S}{a}$

Esempi di calcoli

Esempio 1

Dato: Lato laterale $a = 10$ cm, base $b = 12$ cm. Trova: Altezza dal vertice $h_1$

Soluzione: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{100 - \frac{144}{4}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm

Esempio 2

Dato: Area $S = 60 \text{ cm}^2$, base $b = 10 \text{ cm}$ Trova: Altezza dal vertice $h_1$

Soluzione: $h_1 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 60}{10} = 12$ cm

Esempio 3

Dato: Angolo del vertice $\beta = 36°$, lato laterale $a = 15 \text{ cm}$ Trova: Altezza dal vertice $h_2$

Soluzione: $h_2 = a \sin{\beta} = 15 \sin{36°} = 15 \times 0.5878 \approx 8.817 \text{ cm}$

Esempio 4

Dato: Area $S = 40 \text{ cm}^2$, lato laterale $a = 13 \text{ cm}$ Trova: Altezza dall’angolo della base $h_2$

Soluzione: $h_2 = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 40}{13} \approx 6.15 \text{ cm}$

Note importanti

1. Quando si calcola l’altezza, ricorda che in un triangolo isoscele:

   • I lati laterali sono uguali.
   • Gli angoli della base sono uguali.
   • La somma di tutti gli angoli è uguale a 180°.

2. Considera le relazioni tra gli elementi del triangolo:

   • Se $\alpha$ è un angolo della base, allora $\beta = 180° - 2\alpha$
   • Se $\beta$ è l’angolo del vertice, allora $\alpha = \frac{180° - \beta}{2}$

3. L’altezza può essere tracciata sia all’interno che all’esterno del triangolo, a seconda degli angoli:

   • Se l’angolo del vertice è acuto, l’altezza è all’interno del triangolo.
   • Se l’angolo del vertice è ottuso, l’altezza è all’esterno del triangolo.
   • Se l’angolo del vertice è retto, l’altezza coincide con il lato laterale.

Domande frequenti

Come trovare l’altezza di un triangolo isoscele se il lato laterale è $a = 17 \text{ cm}$ e l’angolo della base è $\alpha = 42°$?

$h_1 = a \sin{\alpha} = 17 \sin{42°} = 17 \times 0.669 \approx 11.37 \text{ cm}$

Qual è la differenza tra l’altezza dal vertice e l’altezza dall’angolo della base?

L’altezza dal vertice è misurata rispetto alla base e biseca l’angolo del vertice, mentre l’altezza da un angolo della base è misurata rispetto a un lato laterale e non ha proprietà speciali se non essere perpendicolare al lato.

L’altezza di un triangolo isoscele può essere maggiore del suo lato laterale?

No, l’altezza è sempre inferiore al lato laterale poiché funge da cateto di un triangolo rettangolo dove il lato laterale è l’ipotenusa.

Come cambia l’altezza del triangolo se si aumenta la base mentre i lati laterali rimangono costanti?

Aumentare la lunghezza della base ridurrà l’altezza dal vertice, mentre l’altezza da un angolo della base aumenterà inizialmente e poi diminuirà.

Come trovare l’altezza di un triangolo isoscele se l’area è $S = 48 \text{ cm}^2$ e la base è $b = 16 \text{ cm}$?

$h_1 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 48}{16} = 6 \text{ cm}$

Qual è l’altezza di un triangolo isoscele quando i suoi lati laterali sono uguali alla sua base?

In tal caso, il triangolo è equilatero e l’altezza viene calcolata come: $h_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ dove $a$ è la lunghezza del lato del triangolo.