Calcolatore del volume dei poliedri

Che cos’è un calcolatore di volume di poliedri?

Il calcolatore di volume di poliedri consente di calcolare il volume di una figura basata su due criteri diversi:

1. Il volume di un poliedro i cui vertici sono punti di un parallelepipedo rettangolo;
2. Una figura composta da due parallelepipedi rettangoli collegati; calcola il volume totale della forma 3D formata da due prismi rettangolari.

Formule

Formula per un poliedro inscritto in un parallelepipedo

Per prima cosa, determina il tipo di poliedro inscritto nel parallelepipedo:

1. Se il poliedro è una piramide (ad esempio, con una base su una faccia del parallelepipedo e un vertice all’angolo opposto), il volume si calcola come:

dove $S$ è l’area della base, e $h$ è l’altezza (distanza dal vertice alla base).

2. Se il poliedro è un prisma (ad esempio, tra due facce parallele), il volume è:

dove $S$ è l’area della base, e $h$ è l’altezza del prisma.

Formula per un poliedro composto

Il volume totale $V$ di un poliedro composto si calcola come:

Dove:

• $L_1$ e $L_2$: lunghezze (lati lunghi) del primo e secondo parallelepipedo.
• $W_1$ e $W_2$: larghezze (lati corti) dei due parallelepipedi.
• $H$: altezza comune.

Esempi passo-passo

Esempio 1: Volume di un poliedro inscritto in un parallelepipedo

Esempio 1: Volume di un poliedro basato sui vertici di un parallelepipedo

Trova il volume di un poliedro i cui vertici sono i punti $A, D, A_1, B, C, B_1$ di un parallelepipedo rettangolare $ABCDA_1B_1C_1D_1$, dove $AB = 3$, $AD = 4$, $AA_1 = 5$, dove $ABCD$ è la base inferiore del parallelepipedo e $A_1B_1C_1D_1$ è la base superiore del parallelepipedo sopra i punti corrispondenti della base inferiore.

1. Determiniamo che la figura inscritta nel parallelepipedo è un prisma triangolare.

2. Calcoliamo l’area della base del prisma:

$S = \frac{1}{2} \times AA_1 \times AD = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$

3. Troviamo il volume del prisma:

$V = S \times h = 10 \times 3 = 30$ In questo esempio, l’altezza del prisma è uguale alla lunghezza del lato $AB$.

Nota: Nell’esempio esaminato, il prisma occupa esattamente 1/2 del volume del parallelepipedo e il risultato ottenuto può essere verificato calcolando il volume del parallelepipedo: $V = 3 \times 4 \times 5 = 60$, metà del quale è 30.

Esempio 2: Volume di un tavolo a forma di L

Un tavolo ha i seguenti parametri:

• Parte principale: $L_1 = 1,8\ \text{m}$, $W_1 = 0,7\ \text{m}$
• Estensione: $L_2 = 1,2\ \text{m}$, $W_2 = 0,6\ \text{m}$
• Altezza $H = 0,75\ \text{m}$

Calcolo:

Contesto storico

Lo studio dei poliedri è iniziato nella Grecia antica, dove Euclide e Archimede ne hanno esplorato le proprietà. Il termine “poliedro” deriva dalle parole greche poly (molti) e hedra (faccia). I poliedri composti, come i prismi collegati, hanno acquisito importanza durante il Rinascimento per analizzare elementi architettonici complessi come le volte arcuate e i contrafforti.

Applicazioni

1. Architettura: Calcolo dei materiali per strutture a più livelli.
2. Logistica: Progettazione di contenitori con più compartimenti.
3. Manifattura: Stima dello spazio per attrezzature con forme complesse.

Note

• Tutte le misure devono essere nello stesso sistema di unità (metri, piedi, ecc.).
• La formula per le figure composte presuppone un’altezza comune. Se le altezze differiscono, calcolare i volumi separatamente e sommarli:

• Questo calcolatore funziona solo per parallelepipedi rettangoli. Per forme complesse, utilizza il nostro Calcolatore di Volume.
• Per i poliedri inscritti nei parallelepipedi, il calcolatore supporta figure con 4-6 vertici specifici se sono note le dimensioni del parallelepipedo.

Domande frequenti

Come calcolare il volume se le altezze dei prismi differiscono?

Per altezze diverse $H_1$ e $H_2$, calcolare i volumi separatamente e sommarli:

Esempio: $L_1 = 4\ \text{m}$, $W_1 = 2\ \text{m}$, $H_1 = 3\ \text{m}$; $L_2 = 3\ \text{m}$, $W_2 = 1\ \text{m}$, $H_2 = 2\ \text{m}$:

Trova il volume del poliedro i cui vertici sono i punti $A, B, C, B_1$ del parallelepipedo rettangolare $ABCDA_1B_1C_1D_1$, con $AB = 3$, $AD = 3$, $AA_1 = 4$.

In questo caso, supponiamo che $ABCD$ sia la base inferiore del parallelepipedo e $A_1B_1C_1D_1$ sia la base superiore del parallelepipedo sopra i punti corrispondenti della base inferiore.

Passaggi della soluzione:

1. Determiniamo che la figura inscritta nel parallelepipedo è una piramide triangolare con i seguenti valori noti: AB = 3, BC = 3 (come lato parallelo a AD) e altezza BB1 = 4 (come lato parallelo a AA1).

2. Calcoliamo l’area della base della piramide:

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4,5$

3. Troviamo il volume della piramide:

$V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times 4,5 \times 4 = 6$

Il volume del poliedro con vertici $A, B, C, B_1$ è 6.

Come usare il calcolatore?

1. Seleziona il tipo di poliedro: “Poliedro inscritto in un parallelepipedo” o “Poliedro composto”.
2. Scegli il numero di vertici.
3. Inserisci la lunghezza, la larghezza e l’altezza del parallelepipedo.
4. Il calcolatore calcolerà automaticamente il volume.

I poliedri composti erano usati nell’antica architettura?

Sì. Ad esempio, le fondamenta del Colosseo a Roma combinarono blocchi trapezoidali e rettangolari per distribuire il carico su un terreno irregolare.