Calcolatrici salvate
Calcolatrici salvate
Matematica

Calcolatore di volume di piramide regolare

Segnala un errore

Condividi calcolatrice

Aggiungi la nostra calcolatrice gratuita al tuo sito web

Per favore, inserisci un URL valido. Sono supportati solo gli URL HTTPS.
Usa come valori di default per la calcolatrice integrata ciò che è attualmente nei campi di input della calcolatrice sulla pagina.
Colore dell'input a fuoco, colore della casella di switch selezionata, colore al passaggio del mouse sugli elementi selezionati, ecc.
Per favore, accetta i Termini di Utilizzo.
Anteprima

Salva calcolatrice

Cos’è una piramide regolare?

Una piramide regolare è una forma geometrica tridimensionale con un poligono regolare come base e facce triangolari che convergono in un unico punto chiamato vertice. Il vertice è perpendicolare al centro della base. Esempi includono le piramidi egizie (basi quadrate) e gli antichi ziggurat (basi rettangolari).

Caratteristiche principali:

  • Base regolare: Tutti i lati e gli angoli del poligono di base sono uguali.
  • Allineamento del vertice: Il vertice è direttamente sopra il centro della base.
  • Simmetria: Le facce triangolari (facce laterali) sono congruenti.

Formula per il volume di una piramide regolare

Il volume VV di una piramide regolare si calcola con:

V=13×Area Base×AltezzaV = \frac{1}{3} \times \text{Area Base} \times \text{Altezza}

Qui, l’altezza è la distanza perpendicolare dal vertice alla base.

Formule per l’area della base per poligoni regolari

  1. Triangolo (3 lati):
Area Base=34×Lato2\text{Area Base} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{Lato}^2
  1. Quadrato (4 lati):
Area Base=Lato2\text{Area Base} = \text{Lato}^2
  1. Pentagono (5 lati):
Area Base=52×Lato×Apotema\text{Area Base} = \frac{5}{2} \times \text{Lato} \times \text{Apotema}
  1. Esagono (6 lati):
Area Base=332×Lato2\text{Area Base} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \text{Lato}^2

L’apotema (distanza dal centro del poligono a un lato) per un poligono regolare con nn lati è:

Apotema=Lato2tan⁡(πn)\text{Apotema} = \frac{\text{Lato}}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}

Esempi di calcoli di volume

Esempio 1: Piramide a base quadrata

Problema: Una piramide ha una base quadrata con un lato di 8 cm e un’altezza di 12 cm. Trova il suo volume.
Soluzione:

  1. Area base:
82=64 cm28^2 = 64 \, \text{cm}^2
  1. Volume:
V=13×64×12=256 cm3V = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 = 256 \, \text{cm}^3

Esempio 2: Piramide a base esagonale

Problema: Una piramide esagonale ha una lunghezza del lato di 6 cm e un’altezza di 15 cm. Calcola il suo volume.
Soluzione:

  1. Area base:
332×62=332×36=93,53 cm2\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 36 = 93{,}53 \, \text{cm}^2
  1. Volume:
V=13×93,53×15=467,64 cm3V = \frac{1}{3} \times 93{,}53 \times 15 = 467{,}64 \, \text{cm}^3

Esempio 3: Piramide a base pentagonale

Problema: Una piramide pentagonale ha una lunghezza del lato di 4 cm, un apotema di 2,75 cm e un’altezza di 10 cm. Determina il suo volume.
Soluzione:

  1. Area base:
52×4×2,75=27,5 cm2\frac{5}{2} \times 4 \times 2{,}75 = 27{,}5 \, \text{cm}^2
  1. Volume:
V=13×27,5×10=91,67 cm3V = \frac{1}{3} \times 27{,}5 \times 10 = 91{,}67 \, \text{cm}^3

Note

  • Altezza vs. altezza inclinata: L’altezza è perpendicolare alla base, mentre l’altezza inclinata è la distanza diagonale lungo una faccia laterale.
  • Coerenza delle unità: Assicurarsi che tutte le misure (lunghezza del lato, altezza) siano nella stessa unità.
  • Approfondimento storico: La formula V=13×Area Base×AltezzaV = \frac{1}{3} \times \text{Area Base} \times \text{Altezza} è stata provata per la prima volta da Euclide negli Elementi (Libro XII).

Domande Frequenti

Come calcolare il volume se è nota solo l’altezza inclinata?

Problema: Una piramide quadrata ha uno spigolo di base di 10 cm e un’altezza inclinata di 13 cm.
Soluzione:

  1. Trova l’altezza verticale usando il teorema di Pitagora:
h=Altezza Inclinata2−(Spigolo di Base2)2=132−52=12 cmh = \sqrt{\text{Altezza Inclinata}^2 - \left(\frac{\text{Spigolo di Base}}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \, \text{cm}
  1. Volume:
V=13×102×12=400 cm3V = \frac{1}{3} \times 10^2 \times 12 = 400 \, \text{cm}^3

Perché c’è un 13\frac{1}{3} nella formula del volume?

Il fattore 13\frac{1}{3} deriva dal fatto che il volume di una piramide è esattamente un terzo di quello di un prisma con la stessa base e altezza. Ciò può essere dimostrato dividendo un cubo in tre piramidi congruenti.

Qual è il volume di una piramide esagonale con una lunghezza del lato di 5 cm e un’altezza di 9 cm?

  1. Area base:
332×52=64,95 cm2\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 5^2 = 64{,}95 \, \text{cm}^2
  1. Volume:
V=13×64,95×9=194,86 cm3V = \frac{1}{3} \times 64{,}95 \times 9 = 194{,}86 \, \text{cm}^3

Come influisce la variazione del numero di lati della base sul volume?

Aumentare il numero di lati (ad esempio, da quadrato a esagono) aumenta l’area della base per una lunghezza del lato fissa, aumentando così il volume. Ad esempio, un quadrato (lato di 4 cm) ha un’area di base di 16 cm², mentre un esagono (lato di 4 cm) ha un’area di base di 41,57 cm241{,}57 \, \text{cm}^2.

Trova il volume di una piramide triangolare regolare se il lato della base è 3 cm e l’altezza è 4 cm.

Per trovare il volume di una piramide triangolare regolare con un lato di base di 3 cm e un’altezza di 4 cm, usa la formula del volume della piramide e sostituisci i valori noti.

Trova l’area della base. La base è un triangolo regolare con una lunghezza del lato di 3 cm. L’area di un triangolo regolare si calcola con:

Areabase=a234Area_{\text{base}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}

Sostituisci il valore di a=3a = 3 e trova l’area:

Areabase=3234=934 cm2Area_{\text{base}} = \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2

Ora sostituisci l’area della base e l’altezza nella formula del volume:

V=13×934×4=33 cm3V = \frac{1}{3} \times \frac{9 \sqrt{3}}{4} \times 4 = 3 \sqrt{3} \, \text{cm}^3

Il volume di una piramide triangolare regolare è 33 cm3{3 \sqrt{3}} \, \text{cm}^3.

Calcolatrici simili

Politica di privacy Condizioni d'uso