Calcolatrice triangolo 30 60 90

Cos’è un triangolo 30 60 90?

Un triangolo 30 60 90 è un tipo speciale di triangolo rettangolo che possiede proprietà uniche, rendendolo significativo dal punto di vista geometrico in matematica e applicazioni pratiche. I suoi angoli misurano 30°, 60° e 90° e questo specifico rapporto di angoli assicura determinate proporzioni laterali. Grazie a queste proporzioni, il triangolo 30 60 90 viene spesso utilizzato in ingegneria, architettura e vari calcoli.

Caratteristiche e proprietà di un triangolo 30 60 90

1. Proporzioni laterali:

   • Il lato opposto all’angolo di 30° è la metà dell’ipotenusa.
   • Il lato opposto all’angolo di 60° è $\sqrt{3}$ volte la metà dell’ipotenusa.

2. Rapporti unitari:

   • Se la lunghezza dell’ipotenusa è $c$, la lunghezza del lato opposto all’angolo di 30° sarà $\frac{c}{2}$.
   • La lunghezza del lato opposto all’angolo di 60° è $\frac{c \sqrt{3}}{2}$.

Grazie a questi chiari rapporti, eventuali problemi relativi alla ricerca dei lati di un triangolo 30 60 90 vengono risolti facilmente e con precisione.

Formule

Ora esploriamo come queste proprietà possono essere utilizzate per calcolare vari parametri del triangolo.

1. Se il lato $a$ (opposto all’angolo di 30°) è noto:

• Ipotenusa $c$:

  $$c = 2a$$

• Area $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

• Perimetro $P$:

  $$P = (3 + \sqrt{3})a$$

2. Se l’ipotenusa $c$ è nota:

• Lato $a$:

  $$a = \frac{c}{2}$$

• Altro lato $b$ (opposto all’angolo di 60°):

  $$b = a \cdot \sqrt{3} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$$

• Area $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2$$

• Perimetro $P$:

  $$P = \left(2 + \sqrt{3}\right) \frac{c}{2}$$

3. Se il perimetro $P$ è noto:

• Lato $a$:

  $$a = \frac{P}{3 + \sqrt{3}}$$

• Ipotenusa $c$:

  $$c = \frac{2P}{3 + \sqrt{3}}$$

• Area $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{P}{3 + \sqrt{3}}\right)^2$$

4. Se l’area $S$ è nota:

• Lato $a$:

  $$a = \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}$$

• Ipotenusa $c$:

  $$c = 2a = 2\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{\frac{S}{\sqrt{3}}}$$

• Perimetro $P$:

  $$P = (3 + \sqrt{3}) \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}$$

Esempi

Esempio 1: Lato noto $a = 4$

1. Ipotenusa $c$:

   $$c = 2a = 2 \cdot 4 = 8$$

2. Area $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3} \approx 6.93$$

3. Perimetro $P$:

   $$P = (3 + \sqrt{3})a = (3 + \sqrt{3}) \cdot 4 = (3 + 1.732) \cdot 4 \approx 4 \cdot 4.732 \approx 18.93$$

Esempio 2: Ipotenusa nota $c = 10$

1. Lato $a$:

   $$a = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

2. Altro lato $b$:

   $$b = a \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 \approx 8.66$$

3. Area $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 100 = 12.5\sqrt{3} \approx 21.66$$

4. Perimetro $P$:

   $$P = \left(2 + \sqrt{3}\right) \frac{c}{2} = \left(2 + \sqrt{3}\right) \cdot 5 \approx (2 + 1.732) \cdot 5 \approx 3.732 \cdot 5 \approx 18.66$$

Esempio 3: Perimetro noto $P = 30$

1. Lato $a$:

   $$a = \frac{P}{3 + \sqrt{3}} = \frac{30}{3 + 1.732} \approx \frac{30}{4.732} \approx 6.34$$

2. Ipotenusa $c$:

   $$c = \frac{2P}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 30}{3 + 1.732} \approx \frac{60}{4.732} \approx 12.66$$

3. Area $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{30}{3 + \sqrt{3}}\right)^2 \approx \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 40.12 \approx 17.32$$

Esempio 4: Area nota $S = 10$

1. Lato $a$:

   $$a = \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{40}{\sqrt{3}}} \approx \sqrt{23.09} \approx 4.8$$

2. Ipotenusa $c$:

   $$c = 2a \approx 2 \cdot 4.8 \approx 9.6$$

3. Perimetro $P$:

   $$P = (3 + \sqrt{3}) a = (3 + 1.732) \cdot 4.8 \approx 4.732 \cdot 4.8 \approx 22.69$$

Domande frequenti

Come trovare il lato se l’ipotenusa è nota?

Se l’ipotenusa $c$ è nota, il lato opposto all’angolo di 30° $a$ è $\frac{c}{2}$, e il lato opposto all’angolo di 60° $b$ è $\frac{c \sqrt{3}}{2}$.

Può essere utilizzato questo triangolo in architettura e in altri campi?

Sì, viene spesso utilizzato in architettura e design grazie alla sua stabilità e semplicità nei calcoli. Il triangolo 30 60 90 viene utilizzato anche in vari tipi di layout, costruzioni e anche nella creazione di figure tridimensionali.

Quali sono i vantaggi di utilizzare questo tipo di triangolo?

Permette calcoli facili nel design delle strutture, assicurando precisione nei risultati.

Come calcolare valori simili ma per un triangolo 45 45 90?

Per calcoli simili con un altro tipo di triangolo rettangolo - 45 45 90, puoi utilizzare questa calcolatrice.