Calcolatore di angoli di triangolo

Quali sono gli angoli di un triangolo?

Gli angoli del triangolo sono gli angoli formati dai due lati di un triangolo. Ogni triangolo ha tre angoli e la somma di questi angoli è sempre 180 gradi. Gli angoli possono essere indicati come α (alfa), β (beta) e γ (gamma).

Il calcolatore degli angoli del triangolo è uno strumento online che ti permette di calcolare gli angoli di un triangolo basato su informazioni note sugli altri angoli e lati. I triangoli sono una forma geometrica fondamentale e comprendere i loro angoli e lati è importante sia nella matematica teorica sia nelle applicazioni pratiche come l’architettura e il design ingegneristico.

Proprietà degli angoli del triangolo

1. Somma degli angoli: Come menzionato in precedenza, la somma dei tre angoli di qualsiasi triangolo è sempre 180 gradi.
2. A seconda degli angoli, un triangolo può essere:
   • Acutangolo, se tutti gli angoli sono inferiori a 90 gradi.
   • Rettangolo, se uno degli angoli è di 90 gradi.
   • Ottusangolo, se uno degli angoli è maggiore di 90 gradi.

Formule

Il calcolo degli angoli del triangolo dipende dai dati noti. Se sono conosciuti due angoli, si applica la regola generale della somma di tutti i campi; quando sono note le lunghezze di tutti i lati, va usato il teorema del coseno, e se sono noti due lati e l’angolo tra di essi - va usato il teorema del seno. Analizziamo ciascuna delle opzioni di calcolo:

Somma di tutti gli angoli

Un triangolo ha una proprietà importante: la somma dei suoi angoli interni è sempre 180 gradi. Questa proprietà fondamentale deriva dalla geometria euclidea ed è la base per molti altri calcoli geometrici.

Quando due angoli sono inizialmente conosciuti, il terzo angolo può sempre essere calcolato dall’equazione:

$$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$$

Questa regola semplifica la risoluzione di molti compiti legati ai triangoli e rappresenta una proprietà di base che può essere utilizzata per trovare rapidamente angoli sconosciuti.

Teorema del coseno

Il teorema del coseno ti consente di calcolare gli angoli se sono note le lunghezze di tutti e tre i lati di un triangolo. Afferma che il quadrato della lunghezza di qualsiasi lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze degli altri due lati meno il doppio prodotto delle lunghezze di questi lati moltiplicato per il coseno dell’angolo compreso tra di essi. Formule per calcolare gli angoli utilizzando il teorema del coseno:

$$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$ $$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$ $$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Dopo aver trovato il coseno di un angolo, puoi usare la funzione arccos per trovare l’angolo vero e proprio.

Teorema del seno

Per calcolare gli angoli con due lati noti e l’angolo compreso tra di essi, puoi usare il teorema del seno. Afferma che il rapporto tra la lunghezza di un lato e il seno dell’angolo opposto è lo stesso per tutti e tre i lati del triangolo:

$$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$$

Esempi

Esempio 1: Calcolare un angolo con due angoli conosciuti

Supponiamo di avere un triangolo dove $\alpha = 50^\circ$ e $\beta = 60^\circ$. Quindi l’angolo $\gamma$:

$$\gamma = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$$

Esempio 2: Calcolare un angolo con tre lati

Consideriamo un triangolo con lati $a = 7$, $b = 10$, $c = 5$. Calcolare l’angolo α:

$$\cos(\alpha) = \frac{10^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{100 + 25 - 49}{100} = \frac{76}{100} = 0.76$$

Ora trova l’angolo α:

$$\alpha = \arccos(0.76) \approx 40.54^\circ$$

Esempio 3: Calcolare gli angoli con due lati e l’angolo compreso tra loro

Supponiamo che i lati $a = 6$, $b = 8$, e l’angolo tra di essi $\alpha = 45^\circ$ siano noti. Quindi per trovare l’angolo β:

$$\frac{6}{\sin(45^\circ)} = \frac{8}{\sin(\beta)}$$

Risolvi per $\sin(\beta)$:

$$\sin(\beta) = \frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{6} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Trova l’angolo β:

$$\beta = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 73.74^\circ$$

Note

1. Quando si usano arccos e arcsin, assicurarsi che i risultati siano entro il range permesso di angoli (0-180 gradi).
2. Nei casi in cui un triangolo non possa essere formato con i parametri dati, i risultati potrebbero non corrispondere a valori angolari reali.
3. Assicurarsi che i dati di input siano corretti e consentiti per la costruzione del triangolo, poiché dati scorretti porteranno a errori di calcolo.

Domande frequenti

Come trovare il terzo angolo di un triangolo se sono dati due angoli?

Se sono conosciuti due angoli $\alpha$ e $\beta$, il terzo angolo $\gamma$ può essere trovato con la formula:

$$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$$

Come si calcolano gli angoli se sono noti i tre lati di un triangolo?

Per trovare gli angoli quando sono noti i tre lati, si utilizza il teorema del coseno. Usando la formula:

$$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

e arccos per trovare l’angolo α.

Cosa fare se il calcolo dell’angolo è impossibile?

Se il calcolo è impossibile (ad esempio, i lati violano l’ineguaglianza del triangolo), ricontrollare i dati inseriti. È possibile che tali parametri non possano formare un triangolo.

Triangolo $abc$, come trovare l’angolo $\angle ac$?

Se i lati del triangolo sono $a, b$ e $c$, per trovare l’angolo $\angle ac$, applicare i seguenti calcoli:

Usa il teorema del coseno per calcolare l’angolo $\gamma$:

$$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Dopo aver calcolato $\cos(\gamma)$, usare arccos per trovare l’angolo $\gamma$ stesso:

$$\gamma = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

Questo calcolatore può essere usato per triangoli rettangoli?

Sì, il calcolatore è adatto anche per triangoli rettangoli. Per l’ipotenusa nota e un cateto, puoi trovare uno degli angoli usando le funzioni trigonometriche.

In un triangolo, l’angolo è di 90 gradi, come trovare gli altri angoli?

Se un angolo di un triangolo rettangolo è di 90 gradi, oltre a questo calcolatore, puoi anche usare un calcolatore di angoli di triangoli rettangoli.