Statistica

Calcolatore del Teorema di Bayes

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Le Basi in Linguaggio Semplice

Il Teorema di Bayes ti aiuta a regolare le tue credenze in base a nuove informazioni. Pensalo come uno strumento matematico per rispondere a: “Quanto è probabile la mia ipotesi adesso che ho visto le prove?”

Immagina di cercare di capire se pioverà oggi. Il Teorema di Bayes utilizza tre informazioni chiave:

  1. La tua ipotesi iniziale (ad es., 20% di probabilità di pioggia).
  2. Quanto è probabile la prova se la tua ipotesi è vera (ad es., 90% di probabilità di nuvole scure quando piove).
  3. Quanto spesso le prove si verificano in generale (ad es., 10% di probabilità di nuvole scure in un giorno qualsiasi).

La formula combina questi per darti una probabilità aggiornata:

Credenza Aggiornata=Ipotesi Iniziale×Probabilitaˋ delle ProveProbabilitaˋ Totale delle Prove\text{Credenza Aggiornata} = \frac{\text{Ipotesi Iniziale} \times \text{Probabilità delle Prove}}{\text{Probabilità Totale delle Prove}}

Prova il Calcolatore

Questo strumento ti permette di risolvere per qualsiasi valore mancante. Basta inserire tre percentuali (0–100%) e selezionare cosa calcolare:

CampoCosa SignificaEsempio (Previsioni di Pioggia)
P(H): A PrioriLa tua credenza iniziale prima delle prove20% di probabilità di pioggia oggi
P(E⎮H): VerosimiglianzaProbabilità di vedere le prove se la tua ipotesi è vera90% di probabilità di nuvole scure se piove
P(E): Prova TotaleQuanto sono comuni le prove in generale10% dei giorni hanno nuvole scure
P(H⎮E): PosterioriLa tua credenza aggiornata dopo le proveIl calcolatore risolve questo!

Esempio:
Se vedi nuvole scure (prove), il calcolatore potrebbe dirti che la probabilità di pioggia salta dal 20% al 64%.

Esempi di Vita Reale

1. Test Medici: Perché “95% Accurato” Può Ingannare

  • A Priori: Solo l’1% delle persone ha la Malattia X.
  • Verosimiglianza: Il test è accurato al 95% per i pazienti malati.
  • Falsi Allarmi: Il test è sbagliato al 5% per le persone sane.
  • Prova Totale:
    (95%×1%)+(5%×99%)=5,9%(95\% \times 1\%) + (5\% \times 99\%) = 5,9\%
  • Credenza Aggiornata:
    95%×1%5,9%16%\frac{95\% \times 1\%}{5,9\%} \approx 16\%
    Un test positivo significa solo un rischio del 16%, non 95%!

2. Email Spam: Come “Gratis” Attiva i Filtri

  • A Priori: 2% delle email sono spam.
  • Verosimiglianza: 80% delle email spam dice “gratis”.
  • Falsi Allarmi: 0,1% delle email reali dice “gratis”.
  • Credenza Aggiornata:
    80%×2%(80%×2%)+(0,1%×98%)94%\frac{80\% \times 2\%}{(80\% \times 2\%) + (0,1\% \times 98\%)} \approx 94\%
    Un’email con “gratis” ha una probabilità del 94% di essere spam.

Guida Passo-Passo al Calcolatore

Scenario: Vuoi conoscere la probabilità di avere un’allergia rara (1% a priori) dopo un test positivo (il test è accurato al 90% per i casi reali, 8% di falsi positivi).

  1. Inserisci A Priori: 1% (quanto è comune l’allergia).
  2. Inserisci Verosimiglianza: 90% (accuratezza del test se sei allergico).
  3. Inserisci Prova Totale:
    (90%×1%)+(8%×99%)=8,82%(90\% \times 1\%) + (8\% \times 99\%) = 8,82\%
  4. Calcola Posteriori:
    90%×1%8,82%10,2%\frac{90\% \times 1\%}{8,82\%} \approx 10,2\%
    Risultato: Un test positivo significa solo una probabilità del 10% che tu ce l’abbia davvero!

Errori Comuni da Evitare

  1. Ignorare il Tasso di Base: Non dimenticare la probabilità iniziale (ad esempio, le malattie rare rimangono rare anche con test positivi).
  2. Confondere “Accuratezza”: Una “accuratezza del 95%” di un test non significa una probabilità del 95% di essere malato; dipende da quanto è comune la malattia.
  3. Dimenticare i Falsi Positivi: Chiediti sempre, “Quanto spesso si verificano queste prove per caso?”

Perché il Teorema di Bayes È Importante Oggi

  • Raccomandazioni di IA & Netflix: Aggiorna le previsioni in base a ciò che guardi.
  • Auto a Guida Autonoma: Regola le decisioni utilizzando dati di sensori in tempo reale.
  • Test COVID: Aiuta a interpretare i risultati in gruppi a basso rischio rispetto a quelli ad alto rischio.

FAQ

Posso usare percentuali invece di decimali?

Sì! Il calcolatore funziona con input da 0 a 100% (non serve 0,05 = 5%).

E se non conosco la “Prova Totale”?

Seleziona “Calcola P(E)” nello strumento. Usa:
P(E)=(P(EH)×P(H))+(Tasso di Falsi Positivi×(100%P(H)))P(E) = (P(E|H) \times P(H)) + (\text{Tasso di Falsi Positivi} \times (100\% - P(H)))

Il Teorema di Bayes funziona per più aggiornamenti?

Assolutamente! Usa i posteriori (credenza aggiornata) come nuovi a priori per la successiva prova.