二等辺三角形計算機

二等辺三角形とは何ですか？

二等辺三角形は、二等辺と呼ばれる2つの等しい辺を持つことで特徴付けられる幾何学的図形です。その他の2辺と等しくない3辺目は、底辺として知られています。二等辺三角形の注目すべき特性は、等しい辺に対する反対側の角、すなわち底角も等しいということです。2つの等しい辺の間の角は頂角と呼ばれます。その対称性のため、二等辺三角形は幾何学で広く使用されており、さまざまな興味深い特性や定理が関連付けられています。

この計算機で何が計算できるのですか？

この計算機を使用すると、特定のパラメーターがわかっている場合、二等辺三角形の辺、高さ、角度、面積、周囲長をオンラインで計算できます。その他の二等辺三角形のパラメータを計算するには、辺、基礎、高さ、および角度の追加計算機を使用することができます。

重要な用語と表記法

• 二等辺 ($a$): 三角形の2つの等しい辺。
• 底辺 ($b$): 頂点の反対側に位置する辺で、脚とは異なります。
• 頂点からの高さ ($h_1$): 頂点から底辺までの垂直下し（中線および角度二分線としても働きます）。
• 脚までの高さ ($h_2$): 基礎角から反対側の脚への垂直下し。
• 頂角 ($\beta$): 2つの等しい辺の間の角度。
• 底角 ($\alpha$): 基礎の両端に位置する角度。
• 周囲 ($P$): 三角形のすべての辺の長さの合計。
• 面積 ($A$): 三角形の辺で囲まれた空間。

二等辺三角形の特性

1. 脚の等しさ: 二等辺（$a$と指定されています）は等しい長さです。
2. 基礎角の等しさ: 基礎角（$\alpha$と指定されています）は等しいです。
3. 中線、高さ、および二分線の保持者: 頂点からは高さ、中線、および二分線が一致し、ベースと直角を形成します。
4. 脚に対する高さの等しさ: 基礎角から反対側の脚への高さは等しい。
5. 基礎角二分線の等しさ: 基礎角の二分線は等しい。

公式

以下は、二等辺三角形の一部の値を計算するための基本式です。

1. 辺 $a$ の計算式:

   $$a = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + h_1^2}$$

2. 基底 $b$ の計算式:

   $$b = \sqrt{4a^2 - 4h_1^2}$$

3. 頂点からの高さ（中央値と二等角線）$h_1$ を計算:

   $$h_1 = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

4. 辺に対する高さ $h_2$ の計算式:

   $$h_2 = a \cdot \sin\left(\beta\right)$$

5. 頂点の角度 $\beta$ を見つける:

   $$\beta = 180^\circ - 2 \cdot \arccos\left(\frac{b}{2a}\right)$$

6. 基底角 $\alpha$ を計算:

   $$\alpha = \frac{180^\circ - \beta}{2}$$

7. 面積 $A$ を公式で計算:

   二等辺と底辺を知っている場合：

   $$A = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$$

   基礎と高さを知っている場合：

   $$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$$

   脚と頂角を知っている場合：

   $$A = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$$

8. 周囲 ($P$):

   $$P = 2a + b$$

   基礎 $b$ および高さ $h_1$ が既知の場合、周囲の公式内の $a$ を置き換えます：

   $$a = \sqrt{h_1^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

   脚 $a$ および頂角 $\beta$ が既知の場合、$b$ を置き換えます：

   $$b = 2a \cdot \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$$

例

側面の計算例

基底が $b = 8$ で、頂点からの高さが $h_1 = 6$ の三角形があるとします。項を求めます $a$:

$$a = \sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7.21$$

基底の計算例

辺が $a = 5$ で、頂点からの高さ $h_1 = 4$ の場合、基底 $b$ を計算します:

$$b = \sqrt{4 \cdot 5^2 - 4 \cdot 4^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$$

頂点の角度を見つける

辺が $a = 10$ で、基底が $b = 16$ の場合、頂点の角度 $\beta$ を見つけます:

$$\beta = 180 ^\circ - 2 \cdot \arccos\left(\frac{16}{2 \cdot 10}\right) = 180 ^\circ - 2 \cdot \arccos(0.8) \approx 180 ^\circ - 2 \cdot 36.87^\circ \approx 180 ^\circ - 73.74^\circ \approx 106.26^\circ$$

面積を計算する

例1：脚の長さが$a = 5$ cmで、基礎の長さが$b = 6$ cmの二等辺三角形の面積を求めてください。

次の式を使用します：

$$A = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$$

既知の値を代入します：

$$A = \frac{1}{4} \cdot 6 \cdot \sqrt{4 \times 5^2 - 6^2} = 12 \text{ cm}^2$$

例2：基礎が$b = 8$ cmで、高さ$h_1 = 5$ cmの二等辺三角形の面積を求めてください。

次の式を使用します：

$$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$$

既知の値を代入します：

$$A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20 \text{ cm}^2$$

例3：脚$a = 7$ cmで、頂角が$\beta = 45^\circ$の二等辺三角形の面積を求めてください。

次の式を使用します：

$$A = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$$

既知の値を代入します：

$$A = \frac{1}{2} \cdot 7^2 \cdot \sin(45^\circ) \approx 17.32 \text{ cm}^2$$

周囲計算の例

例1：底辺が8cm、高さが6cmの二等辺三角形の周囲を求めてください。

1. 脚を計算します:

   $$a = \sqrt{6^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \approx 7.21 \text{ cm}$$

2. 周囲 ($P$):

   $$P = 2 \times 7.21 + 8 = 22.42 \text{ cm}$$

例2：脚が10cmで、頂角が60ºの二等辺三角形の周囲を求めてください。

1. 底辺を計算します:

   $$b = 2 \times 10 \cdot \sin\left(30º\right) = 20 \times 0.5 = 10 \text{ cm}$$

2. 周囲 ($P$):

   $$P = 2 \times 10 + 10 = 30 \text{ cm}$$

注記

• 二等辺三角形は、すべての辺が等しいとする等辺三角形にすることができます。
• 高さはその対称性により中線および二分線としても機能します。
• 三角関数は角度や高さの計算に頻繁に使用されます。

よくある質問

二等辺三角形の面積はどのように計算されますか？

二等辺三角形の面積はいくつかの方法で計算できます：

• 底辺と高さを知っている： $A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$
• 脚と頂角を知っている： $A = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$
• 底辺および1つの脚を知っている： $A = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$

二等辺三角形のすべての高さは等しいですか？

いいえ、頂点からの高さは中線と底辺の二等分線と等しく、一方、基礎角から対辺への高さはお互いに等しいです。

脚が7 cmで、底辺が10.5 cmの二等辺三角形の周囲はどのように求めますか？

次の式を使用します： $P = 2a + b$。

この場合、$a = 7$、$b = 10.5$。したがって、$P = 2 \times 7 + 10.5 = 24.5 \text{ cm}$。

二等辺三角形の周囲を計算するにはどのデータが必要ですか？

周囲を計算するには、底辺と1つの脚の長さが十分です。高さや角も計算に組み合わせて使用することができます。

二等辺三角形の面積を計算するために、ヘロンの公式を使用できますか？

ヘロンの公式は確かに三角形のすべての辺が既知であれば、面積を求めるために使用できます。これは、二等辺三角形だけでなく、他の任意の三角形にも適用されます。